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求函数极限的方法和技巧
在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯 穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学****数学分析和微积分的关键一环。本 文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合 ,力图在方法的正
确灵活运用方面，对读者有所助益。
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义:
例：用极限定义证明:
limx2-3x 2
x 2 x - 2
=1
2
x - 3x 2
x - 2
总，则当0c|x — 2 <§
时，就有
x-22
x -2
x-2
X2 _3x=2
x—2
由函数极限；-、；定义有:
2、利用极限的四则运算性质：
2X 一
m2
H X
-3x 2
=1 。
x -2
若
⑴
(II)
lim f (x) = A lim g (x)二 B
xrX) x )xo
lim f (x) 一 g(x)丨=lim f (x)二 lim g(x) = A 二 B
x—xo x—xo x jxo
lim〔f (x) g(x)亠 lim f (x) lim g (x)二 A B
x >xo X % \ ， X 旳 \ ，
(III)若 B 工 0
f(x) lim f (x) 则：lim空2二
x % g(x) lim g(x)
^xo
f (x) x》Xo
(IV) lim C f (X)二 c lim f (X)二 cA (c 为常数) x—jxo x^fiX
上述性质对于X— , X—宀-',x)时也同样成立
例：求
x2 3x 5
x 4
# / 11
2 2
x 十3x +5二2 +3 2 十5
x 4 2 4
3、约去零因式（此法适用于 x > xo时,o型）
o
+ X3-X2-16x-2o
求lim 3 厂
X—；2 x 7x 16x 12
"32 2
解：原式=lim 乂厂汽-血(2： 一 6x_2°) XT2(x3 +5x2 +6x)+(2x2+10x + 12)
2
=lim & 2)(x2—3x-10)
xr2 (x 2)(x 5x 6)
2
(x —3x—10) 「 (x—5)(x+2) 「 x—5
=lim 2 = lim = lim
x—泮(x2 5x 6) x >^(x 2)(x 3) x x 3
4、通分法(适用于E二型)
4 1
例：求 lim ( 2 )
T 4 —x2 2 —x
4 -(2 x)
原式=lim =lim 纟 x) =lim 1— =-
T(2 + x)，(2—x) T(2+x)(2 —x) T2 + x 4
5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量 的性质)
设函数f(x)、g(x)满足：(I)
lim f (x) =0 (II)
x=x)
g(x)乞M (M为正整数)
则:
lim g(x) f (x) = 0
x >xo
lim x sin - x「0 x
lim x = 0 而
x—.0
sin 1 < 1
x
故原式=lim x
x )0
sin 丄=0
x
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(I)若：lim f (x)二
=0
(II)
若：lim f (x) = 0 且
f(x)
f (x)
则lim
=QO
f(x)
求下列极限
lim
x匸x 5
1
②lim
x 1 x -1
由 lim (x 5)
x—^C
=0
lim —1 0
x 5
1
lim =:-
x 1 x —1
li
由 lim(x-1)
7、等价无穷小代换法
设〉/ ', ■ , ■'都是同一极限过程中的无穷小量，且有:
J.〜
Ct 亠亠 r .. Ot .. Ot Ot
lim yr 存在，则lim 也存在，且有 lim = = lim
2
例：求极限lim
1「cosx
~2~； 2
x sin x
解:
注:
2 2
sin x ~ x ,
1 -cosx2
(x2)2
(x2)2
2
1 -COSX 2
lim 2 =—
x—P x sin x x x
在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若
# / 11
以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量 之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限