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多元统计分析
题型一定义、名词解释
题型二 计算（协方差阵、模糊矩阵）
题型三解答题
一、定义
§ 1随机向量及其分布 I
一、随机向量的联合分布
设是定义在样本空间门上的戶个随机变量，则称 （丄是戶维随机向量（或戶维随机变量）.
〃元函数
/'****尸{』；＜ H-.I； £”口厂,1； ＜ r^}
称为夕维随机向量（忑兀…的联合分布函数.
如果存在非负可积函数/bi"*…使得
《…r.»） = J Z ［八…八左\、叫DQ石&叫「石F 则称（片兀… 灼）为 （兀耳…丿/的联合分布密度.
§ 2随机向串的数字特征
—＞随机向量的数学期望（均值）
定义1设才=（斗占若砂）M松，i 2, -s P存在, 则称 £T=（a，£^・…,笑，
=他如屮J = M
为『二（兀兀…」丿的数学期望（向量）•
设KQt称工为随机矩阵，称則=（£九丿随机矩阵上 的数学期望（矩阵）.
二、边缘分布
称“维随机向暈（九£ •巧y的分量构成的子向量的概率分 布为的边缘分布.
设p维随机向量（石“,…® 的分布函数为尸（斗心…为），则 关丁K的边缘分布函数为
刀（巧）=尺丄；S旳｝=尸（+0€,…•+oo.・S+＜xv・ ・+3O）＞
设〃维连续型随机向量（尤』•…的联合分布密度为 /（片心…..!；），则关于工的边缘分布密度为
力（兀）二匚…匚…••心
四、 协方差矩阵的性质
设』，尸为随机向呈，冷，冷为常数矩阵，则
性质 1 CKMI：夕Q =
性成 2 2X AX）= .4*」*） .4
五、 协方差矩阵QT的代数性质
记 s=zzr,
1・工为4负定矩阵，艮卩对PqeRp，冇
记号：若工为非负定矩阵，则记作三20,
若E为正定矩阵，则记作三＞0・
二、 数学期望的性质
设才，丁为随机矩阵，•八8为常数矩阵，则 性质 1 E^4X)=AEX,
性质 2 E{AXB} = A E\X) B、
性质 3 £(X+ F) = EX^EY・
三、 协方差矩阵
定义2设#=(竝禺，…，巧y, v=(xz，…』;y, 若/=1. 2.….P> 7 = 1. 2.…、q存在,则称
CH ) = E^X- EX){Y- Ely =[ 为随机向屋X与『的协方耒矩阵.
当 门一0时，称随机向星」•与厂不相关.
称Cox^) = [C心；.」：•)]— = ZZF为随机向量*的协方差矩阵.
显然，协方差矩阵是一个对称矩阵.
定义3
v •巧•)
记严齊菖
称R=y)^p为随机向量*的相关阵.
由相关系数的概念,显然有乙=1，I/-1^1, /；7 = L 2.・・・• p.
⑴ 爰短距离法(Nearest ne^Hior)
考虑n个样本构成的距离矩阵，定义G,与q之间的距离为两类最近样品的距离，即 q二和鞭厲心 (3-3-29)
现在设G,与Gg合芥沟一个新类记为Gy,则任意一类®与G,的距离为
D&= min =min( min d 述 min d^, = min(D^, . (3 -3-30)
》为正定矩阵,则有下述等价结论.
(1) E>0o3非奇异方阵厶使U'Z・
(2) E>0«3正交矩阵I■，使吋二力缺厶,…,®. 其中，人>0・,…为E的全部特征根.
(3) 工> 0 o工的任一主子式均大于零.
(4) E > 0 o Pa w RP、右 a Ta N 0 , JELaTa = 0 co a = 0 .
(5) E>0 o 存在且S-1 >0.
§ 3多元总体
一、 多元总体
设观测指标为」；,£，••・」；则」；.」：・••••」；・构成一个“维随机 =(.i;.x. , x的一切可能取值的全体就构成了刀元总
体，仍记作才.
"维随机向量1的概率分布即为所对应总体的概率分布，匸 的数字特征也即为所对应总体的数字特征.
二、 样本观测阵
设对〃元总体■"(」;・£••••」"进行了〃次观测,记
屯=(.略七•…•忑)’
为第/次的观测结果(/". 2.….〃)，每次的观测结果称为•个样品.
如果竝吊，…•兀）满足：
（1） 如•竝）.…H”）相互独立；
（2） 』具有相同的概率分布.
称血）为來自总体『的一个容量为〃的简单随机样本，仍 简称为样本.
称样本观测值的全体构成的矩阵
•中•片2…
兀1叼2…呵
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