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数学竞赛考试范围
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数学竞赛考试范围
(一)中国大学生数学比赛(数学专业类)比赛内容为大学本科数学专业基础课的教
学内容,即,数学解析占 50%,高等代数占 35%,解析几何占 15%,详尽内容以下:
Ⅰ、数学解析部分
一、会集与函数
实数集、有理数与无理数的茂盛性,实数集的界与确界、确界存在性定理、
闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理 .
上的距离、邻域、聚点、界点、界限、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述看法和定理在上的推行.
函数、照耀、变换看法及其几何意义,隐函数看法,反函数与逆变换,反函
数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质 .
二、极限与连续
数列极限、收敛数列的基天性质(极限独一性、有界性、保号性、不等式性
质).
数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单一有界原理、数列收敛与其子列
收敛的关系),极限及其应用 .
一元函数极限的定义、函数极限的基天性质(独一性、局部有界性、保号性、
不等式性质、迫敛性),归纳原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计
算一元函数极限的各种方法,无量小量与无量大批、阶的比较,记号
O与
o的意义,
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多元函数重极限与累次极限看法、
基天性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系
.
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4. 函数连续与中止、
一致连续性、 连续函数的局部性质
(局部有界性、
保号性),
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有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性)
.
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三、一元函数微分学
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导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何
意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性 .
:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
一元微分学的应用:函数单一性的鉴别、极值、最大值和最小值、凸函数及其
应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的议论、洛必达( L'Hospital )法规、
近似计算 .
四、多元函数微分学
偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方导游数与梯度,高阶偏导数,混杂偏
导数与序次没关性,二元函数中值定理与 Taylor 公式.
隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.
几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).
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(必需条件与充分条件),条件极值与 Lagrange 乘数法
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