数学竞赛考试范围.docx

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（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教
学内容，即，数学分析占 50%，高等代数占 35%，解析几何占 15%，具体内容如下：
Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数
实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、
闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理 .
上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.
函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函
数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质 .
二、极限与连续
数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性
质）.
数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列
收敛的关系），极限及其应用 .
一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、
不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计
算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号

O与

o的意义，
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多元函数重极限与累次极限概念、

基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系

.
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4. 函数连续与间断、

一致连续性、 连续函数的局部性质

（局部有界性、

保号性），
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有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）

.
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三、一元函数微分学
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导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何
意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性 .
：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其
应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（ L'Hospital ）法则、
近似计算 .
四、多元函数微分学
偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏
导数与顺序无关性，二元函数中值定理与 Taylor 公式.
隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.
几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.
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（必要条件与充分条件），条件极值与 Lagrange 乘数法.
五、一元函数积分学
原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部
积分法）、有理函数积分：型，型 .
2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要