贝叶斯公式算法.ppt

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
因引起B发生概率的总和，即全概率公式.
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
全概率公式.
我们还可以从另一个角度去理解
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由此可以形象地把全概率公式看成为
“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
B
诸Ai是原因
B是结果
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例3：某地成年人体重肥胖者(A1)占，中等者(A2)占，瘦小者(A3)占，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为，，。
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解：令B＝｛某人患高血压｝（显然B
是一复杂事件），Aｉ＝｛某人体重的特征｝（ｉ＝１、２、３），显然它们构成
一完备事件组，且事件B只能与其中之一事
件同时发生。故用全概率公式计算。
P(B×××
P(B)= P( A1) P(B|A1)+ P( A2) P(B|A2)+ P( A3) P(B|A3)
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该球取自哪号箱的可能性最大?
实际中还有下面一类问题，是
“已知结果求原因”
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.
1
2
3
1红4白
或者问:
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该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
贝叶斯公式：
设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则
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直观地将Ai 看成是导致随机事件B发生的各种可能的原因，则P(Ai)可以理解为随机事件Ai发生的先验概率(a priori probability).如果我们知道随机事件B发生这个新信息，(Ai|B)就是知道了新信息“A发生”后对于概率的重新认识，称为随机事件Ai的后验概率(a posteriori probability).
贝叶斯公式：
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贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.
“Thomas Bayes，一位伟大的数学大师，他的理论照亮了今天的计算领域，和他的同事们不同：他认为上帝的存在可以通过方程式证明，他最重要的作品被别人发行，而他已经去世241年 了”。
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例 1 一个有5个选择的考题，，问他确实知道答案的概率是多少?
求解如下:
设 A={知道答案}，
B={选则正确}，由题意可知：
由全概率公式:
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得到:
例如，若
则
这说明老师们依据试卷成绩来衡量学生平时的学****状况还是有科学依据的.
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例 2 某一地区患有癌症的人占，患者对一种试验反应是阳性的概率为，正常人对这种试验反应是阳性的概率为，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
则 表示“抽查的人不患癌症”.
已知 P(C)=,P( )=,
P(A|C)=, P(A| )=
求解如下:
设 C={抽查的人患有癌症}，
A={试验结果是阳性}，
求P(C|A).
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现在来分析一下结果的意义.
由贝叶斯公式，可得
代入数据计算得:
P(C｜A)=
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症
有无意义？
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如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C
患者阳性反应的概率是，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)=
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.
从增加到0.