不等式的证明方法论文.doc

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重庆三峡学院毕业设计（论文）
题目：不等式的证明方法

院 系 数学与统计学院
s further explore and study the inequality proof.

Key words：inequality; mean value theorem; proof
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引言
不等式是数学中的重要内容之一，它反映了各个变量之间很重要的一种关系. 它的证明在数学中起着重要作用，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思维能力. 证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强.
运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识. 作为高等数学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法.
第一章 不等式的基本知识
不等式的概念
不等式的定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.
实数运算的性质（符号法则）
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
不等式的性质
（1）对称性: .
（2）传递性：.
（3）可加性：.
（4）可乘性：，
.
II
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第二章 证明不等式的常用方法
比较法
，下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.
欲证， (1) 只要证明； (2) 如果，只要证明．
例1 已知， 求证：．
证明：

.
说明：作差后为了判断符号，需要恒等变形，而证本题关键正在于联想二次三项式的因式分解.
例2 设，求证：.
证明：因为，
所以，
而，
故.
说明：当式子为指数式时，联想到指数性质，故常用比值法.
比较法是最简单明了的方法，为进一步研究，接下来看另一种方法，用公式法，即利用常用不等式来证明不等式.
公式法
柯西不等式
设，则，
II
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当且仅当时，等号成立．
例1 已知都是正数，求证：．
证明：构造两个数组：，由柯西不等式，得
，即 ，
所以．
均值不等式
，则称为均值不等式.
其中 ，
，
，
.
例2 已知，求证：．
证明：由，，得，，
从而 ，
故只要证明，即即可．
，等号在（这时）时取得，
II
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所以．
排序不等式
设则有
（倒序积和）
（乱序积和）
（顺序积和）
其中是的一个排列，即
倒序积和≤乱序积和≤顺序积和．
例3 设是个互不相同的自然数，证明：
．
证明：设是的一个排列且，
因，所以由排序不等式，得，
．
又因为，故 ，
即．
说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.
从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.
除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究. 接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.
第三章 微分在证明不等式中的应用
微分证明不等式的主要方法有函数的单调性法、函数