基本不等式.doc

§　基本不等式
2014高考会这样考　1。利用基本不等式求最值、证明不等式；2。利用基本不等式解决实际问题．
复****备考要这样做　；2。在复****过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．（精品文档请下利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第（1）问把＋中的“1”代换为“2x＋y”,展开后利用基本不等式;第
（2）问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式．（精品文档请下载）
答案　（1)3＋2　(2）1
解析　(1)∵x〉0，y>0，且2x＋y＝1,
∴＋＝＋（精品文档请下载）
＝3＋＋≥3＋2.
当且仅当＝时，取等号．
（2)∵x>0，∴f(x）＝＝≤＝1，（精品文档请下载）
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
(1)已知x>0,y〉0,x＋2y＋2xy＝8,则x＋2y的最小值是（　　)
A．3 B．4 C。 D。
（2)已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．
答案　(1）B　（2)16
解析　(1）依题意,得(x＋1)(2y＋1)＝9，
∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，
即x＋2y≥4。
当且仅当即时等号成立．（精品文档请下载）
∴x＋2y的最小值是4.
（2）∵a〉b>0，∴b(a－b)≤2＝，（精品文档请下载）
当且仅当a＝2b时等号成立．
∴a2＋≥a2＋＝a2＋（精品文档请下载）
≥2＝16,当且仅当a＝2时等号成立．（精品文档请下载）
∴当a＝2，b＝时,a2＋取得最小值16.（精品文档请下载）
题型三　基本不等式的实际应用
例3　某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为 150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低?（精品文档请下载）
思维启迪：用长度x表示出造价,利用基本不等式求最值即可
．还应注意定义域0<x≤5;函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．（精品文档请下载）
解　由题意可得，造价y＝3（2x×150＋×400)＋5 800
＝900＋5 800 （0〈x≤5）,（精品文档请下载）
则y＝900＋5 800（精品文档请下载）
≥900×2＋5 800＝13 000（元),
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．
故当侧面的长度为4米时,总造价最低．
(2011·北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)（精品文档请下载）
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
答案　B
解析　设每件产品的平均费用为y元,由题意得
y＝＋≥2＝20。（精品文档请下载）
当且仅当＝(x〉0)，即x＝80时“＝”成立，故选B。（精品文档请下载）
忽视最值取得的条件致误
典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝的最小值．（精品文档请下载）
易错分析　在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．
审题视角　(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式,必须保证“正、定、等”,而且还要符合已知条件．（2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．（精品文档请下载）
规范解答
解　方法一　y＝（精品文档请下载）
＝＋≥＋2（精品文档请下载）
＝2＝2（精品文档请下载）
≥2＝2＝.［10分］（精品文档请下载）
当且仅当a＝b＝时，y＝取最小值，最小值为。[12分]（精品文档请下载）
方法二　y＝＝ab＋＋＋（精品文档请下载）
＝ab＋＋＝ab＋＋（精品文档请下载）
＝＋ab－2。［8分]
令t＝ab≤2＝,即t∈。（精品文档请下载）
又f(t)＝＋t在上是单调递减的，[10分］（精品文档请下载）
∴当t＝时，f（t）min＝，此时，a＝b＝.（精品文档请下载）
∴当a＝b＝时，y有最小值。[12分]
温馨提醒　（1）这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．（2）利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3）本题出错的原因前面已分析
，关键是忽略了等号成立的条件.（精品文档请下载）
方法与技巧
1．基本不等式具有将“和式"转化