231平面向量基本定理.ppt

1、向量加法的平行四边形法则
2、共线向量的基本定理
一、知识回顾
a
二、问题研究
OC = OM + ON =
OA + OB
即 a
1、向量加法的平行四边形法则
2、共线向量的基本定理
一、知识回顾
a
二、问题研究
OC = OM + ON =
OA + OB
即 a = + .
a
A
O
a
C
B
N
M
M
N
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
共线向量，那么对于这一平面内的任
如果 、 是同一平面内的两个不
a = +
这一平面内所有向量的一组基底。
我们把不共线的向量 、 叫做表示
三、平面向量基本定理
（1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）（基底不唯一，关键是不共线）
思考1
E
F
F
A
N
B
a
M
O
C
N
M
M
O
C
N
a
E
思考2
(2)若基底给定，则分解形式唯一。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
可使 0 =
+
.
=
= 0
？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？
特别的，若a与 （ ）共线，则有
=0（ =0），使得:
a = + .
特别注意
向量的夹角:
已知两个非零向量
，作
，则
叫做向量
与
的夹角.
当
时，
与
同向；当
时，
与
反向；当
时，
与
垂直，记
作
.
O
A
B
C
·
例题分析
O
A
C
·
D
C
B
A
M
例3、 如图，已知梯形ABCD，
AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别
是DC,,
在图中确定一组基底，将
其他向量用这组基底表示
出来。
A
N
M
C
D
B
解析：
BC = BD + DC =
MN = DN-DM
=(AN-AD)- DC
(AD–AB)+DC
A
N
M
C
D
B
DC = AB =
设AB = ,AD = ,则有：
= - .
= - + =
= - -
-
+
能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。
解题回顾
，E、F
分别是DC和AB的中点，试判断AE,
CF是否平行？
F
B
A
D
C
E
F
B
A
D
C
E
E、F分别是DC和AB的中点,
AE= AD+ DE
= b+ a
CF= CB+ BF = -b - a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
解：设AB= a,AD= b.
A、B、D三点共线
解：
AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
=(2a – b) –(a +3b)
= a – 4b
从而 2a + kb = (a – 4b )
于是由条件可得
2 =
k = 4
k = 8 .
本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。
解题回顾
从而 2a + kb = (a – 4b )
2 - = 0
k – 4 = 0
此处可另解：
k = 8 .
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
课堂练****br/>变式探究：
P
B
O
A
P
分析：OP = OA + AP
解：
结
论
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。
则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 关于基底｛ ， ｝的分解式为 =（1－t） ＋t （*）
并且满足（*）式的点一定在L上
P
A
O
M
B
L
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
３、平面向量基本定