相似矩阵与二次型.ppt

第第5 5章章相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 向量的内积、正交化方法向量的内积、正交化方法 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 相似矩阵相似矩阵 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 二次型的标准形二次型的标准形 正定二次型正定二次型 向量的内积、正交化方法 向量的内积定义 1设有维向量 n 1 1 2 2 , n n a b a b a b ? ? ??? ? ??? ? ??? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ?? ??? 1 1 2 2 , n n a b a b a b ? ??????称为向量与的内积??向量的内积具有下列性质??????????????????, , , , , , , , , 0 k k k ?? ?? ??? ?? 0 ?? ???? ????? ???????? ?令 向量的长度定义 2设 12naaa ? ?? ?? ??? ?? ?? ???令?? 2 2 2 1 2 , n a a a ? ?????? ???称为向量的长度(或范数) . ?向量的长度具有下列性质性质 1非负性:当??0时, 0??;当?0?时, 0.??性质 2齐次性: k k ?? ?( k为实数) . 性质 3三角不等式? ??? ???则. 当, ? ?? ? 0 0 时, ??, 1 ( 0 ? ?当时) ??? ?? ?可以证明??, os ????? ? n ??称为维向量与的夹角. 当??, 0 ???时,称向量??与显然,零向量与任何向量都正交. 正交. 正交向量组定义 3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组. 两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作 1 2 , , , ? m e e e 正交向量组有下列性质: 性质 1若 1 2 , , , m ? ? ??是正交向量组,则 1 2 , , , m ? ? ??无关. 性质 2设 1 2 , , , ? m e e e 为单位正交向量组, ?为同维数的任一若存在数 1 2 , , , m k k k ?,使 1 1 2 2 m m k e k e k e ? ?????则??, ( 1, 2, , ) ? ??? i i k e i m 线性向量, . 例1 已知两个 3维向量 1 2 1 1 1 , 2 1 1 ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?正交,求一个非零向量 3,?使 1 2 3 , , ? ??两两正交. 解:记 T1T2 1 1 1 1 2 1 A ? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ???,则 3?应满足齐次线性方程组 A?0x 即 123 1 2 1 0 1 1 1 0 xxx ? ??? ???? ??? ???? ?? ???? ?? ?因为 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 A ?? ???? ?? ???? ???所以同解方程组为 1 3 2 3 3 0 x x x x x ?????????,通解为 1 2 1 3101 x x c x ?? ???? ????? ???? ???? ???一基础解系为 101 ?? ?? ?? ?? ??