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彩票中的数学
问题重述
彩票在国内已经得到较大程度的推广，并受到众多彩民的欢迎。彩票类型主要有“传统型”和“乐透型”两种，主要在所采用的方案上有所不同。
不管采取何种方案，彩票管理部门都希望利用相对合理的销售规则和奖金设 等奖,1等奖到L 等奖的中奖率分别为Pi1，……，PiL，单项获奖金额分别为Ci1，……，CiL，它队某一类型彩民的吸引力为Ai
当以上2L个参数中只有一个增大，而其余(2L-1)个不变时，根据实际情况可以知道，吸引力Ai必然随之增大而且吸引力Ai应该是以Pi1，……，PiL，Ci1，……，CiL这2L个参数为自变量的函数，且对于每一个自变量而言，均是单调增函数，这一点对于任何设奖方式均适用。
即
应该满足
图1
模型的建立与求解
模型一 吸引力函数
层次分析法
由于可能存在数量级上的巨大差异，必须将p & c 置于同一数量级，所以……
求出该成对比较矩阵的近似特征向量 :
{ , 0237473 , , , , , }
最大特征根的近似值为 :
对其进行一致性检验得:
其中 RI= (n=7时) 是随机一致性指标
满足一致阵要求,求得的特征向量可以作为各奖项的权重向量 和
同理,用同样的权重向量和g(x) ,可以求出
再构造 和 的表较矩阵: 为一
致阵,故取权重向量
由 ,求得这种方案的
吸引力 。
模型的建立
模型二
根据彩民对中奖面和对中奖金额的不同偏爱，将彩民分为n种彩民群体，每一种群体
对中奖面和奖金额度的重视程度不同，则某一确定的设奖方案对每种人群的吸引力也不同……
变量的设定
将人群分为“保守型”和“冒险型” 两种，即在上述公式中令n=2
熵值取权法：
模型的假设及符号说明
模型的假设
（1）每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得；
（2）假设彩票的规则是以公平合理为原则；
（3）假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一般为销售总金额的50%；
（4）假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖级；
（5）奖金取绝于当期彩票投注额的多少，投注额越多，奖金越高；
（6）假设彩民大都具有***心理。
符号说明
(1) :表示i(i=1,2,3)等奖是否被取走，即=0或1；
(2) :表示i等奖中奖注数；
(3) :表示i等奖的奖金额；
(4) :表示当期已售出的彩票注数；
(5) :表示每注彩票第i项奖的奖金额；
(6) :表示取走的奖金额；
(7) :表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单注彩票的平均收益率；
(8) :表示第i等奖的中奖概率；
(9) :表示第i等奖的奖金分配的百分比；
(10) :表示***心理函数；
(11) :表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例；
(12) :判别方案合理性的判别函数。
求两种类型彩票每注中各奖项的概率
设彩票有7等奖，对某一方案而言，每注彩票中各奖项的概率是可求的，分别用 ， ，… 来表示中一等奖到七等奖的概率。
设当期销售n注彩票，研究每注彩票的收益
由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数n有关，n注彩票中，获得第　等奖的中奖注数 是随机变量，且 服从二项分布 ，即
由贝努利大数定律可知，当 足够大时， 近似服从正态分布，
其期望与方差分别为
记
由 的独立性
高项奖的第i等奖的奖金额 ，由题目中给出的计算方法得
若 表示 等奖是否被取走，则
服从两点分布。 =0 表示 等奖没被取走，
=1表示 等奖被取走，其分布率为
若 表示取走的奖金总额，