第5章 矩阵分析课件.ppt

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一、定义和性质
(p125)
f(z)=是解析函数,收敛半径为R,如果
(A)<R,则有意义。
常见的矩阵函数
eA,cosA,sinA,ln(I+A)
函数eA的若干性质:
AB=BA,eAeB=eBeA=eA+B,
e0=I
(eA)–1=e–A。
定义f(A)=
例题5、设A为反对称矩阵,证明eA为正交矩阵。
例题6设,讨论lnA是否有意义
二、矩阵函数的计算
计算f(A)=
1、Jordan标准形方法:
A=PJP–1,f(A)=Pf(J)P–1;
计算矩阵序列:Sn(J)
按元素收敛求得:
如果A=PJP–1,则f(A)=Pf(J)P–1;
如果i为矩阵A的特征值,则f(i)是矩阵f(A)的特征值
含参数t的函数f(At)。
例题1,计算eA和eAt。
2、最小多项式方法
由在谱上等值确定g(),则f(A)=g(A)
例题2设,计算eA和eAt
例题3设,计算A10。
例题4(P129eg15)
例题5设,
用Jordan化方法计算sinA。
求sinA的Jordan标准形J,并求矩阵Q, 使得QsinAQ–1=J
例题1
设,计算deAt/dt
对任意方阵A,计算deAt/dt
§(求解常系数微分方程组)
一、微分方程组的一般形式
X'(t)=A(t)X(t)+f(t)
X(t0)=C。
齐次:f(t)=0
非齐次:f(t)0
常系数:A(t)=A
二、一阶线性常系数齐次微分方程组
求解:X'(t)=AX(t)
X(t0)=C。
定理5、11:上述方程组的解为:
X(t)=eA(t–t0)x(t0)
例题1求解