实验数据处理的几种方法.doc

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物理实验中丈量获取的很多半据需要办理后才能表示丈量的最后结果。对实验数据进行记录、整理、计算、剖析、拟合等,从中获取实验结果和找寻物理量变化规律或经验公式的过程就是数据办理。它是实验方法的一个重要构成部分,是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。
列表法
列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依照必定的形式温次序列成表格。列表法能够简单明确地表示出物理量之间的对应关系,便于剖析和发现资料的规律性,也有助于检查和发现实验中的问题,这就是列表法的长处。设计记录表格时要做到:
1)表格设计要合理,以利于记录、检查、运算和剖析。
2)表格中波及的各物理量,其符号、单位及量值的数目级均要表示清楚。但不要把单位写在数字后。
3)表中数据要正确反应丈量结果的有效数字和不确立度。列入表中的除原始数据外,计算过程中的一些中间结果和最后结果也能够列入表中。
4)表格要加上必需的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部,说明写在表格的下部。
作图法
作图法是在座标纸上用图线表示物理量之间的关系,揭露物理量之间的联系。作图法既有简洁、形象、直观、便于比较研究实验结果等长处,它是一种最常用的数据办理方法。
作图法的基本规则是:
1)依据函数关系选择适合的坐标纸(如直角坐标纸,单对数坐标纸,双对数坐标纸,极坐标纸等)和比率,画出坐标轴,注明物理量符号、单位和刻度值,并写明测试条件。
(2)坐标的原点不必定是变量的零点,可依据测试范围加以选择。,坐标分格最好
使最低数字的一个单位靠谱数与坐标最小分度相当。纵横坐标比率要适合,以使图线居中。
3)描点和连线。依据丈量数据,用直尺和笔尖使其函数对应的实验点正确地落在
相应的地点。一张图纸上画上几条实验曲线时,每条图线应用不一样的标志如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出,免得混杂。连线时,要顾及到数据点,使曲线呈圆滑曲线(含
直线),并使数据点均匀散布在曲线(直线)的双侧,且尽量切近曲线。个别偏离过大的点要从头审查,属过错偏差的应剔去。
4)注明图名,即做好实验图线后,应在图纸下方或空白的明显地点处,写上图的名称、作者和作图日期,有时还要附上简单的说明,照实验条件等,使读者了如指掌。
作图时,一般将纵轴代表的物理量写在前面,横轴代表的物理量写在后边,中间用“~”
(1)斜率截距法在图线上选用两点
联接。
(5)最后将图纸贴在实验报告的适合地点,便于教师批阅实验报告。
图解法
在物理实验中,实验图线做出此后,能够由图线求出经验公式。图解法就是依据实
验数据作好的图线,用分析法找出相应的函数形式。实验中常常碰到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线。特别是当图线是直线时,采纳此方法更加方便。
:
1)依据分析几何知识判断图线的种类;
2)由图线的种类判断公式的可能特色;
3)利用半对数、对数或倒数坐标纸,把原曲线改为直线;
4)确立常数,成立起经验公式的形式,并用实验数据来查验所得公式的正确程度。

假如作出的实验图线是一条直线,则经验公式应为直线方程
y=kx+b

(1—
12)
要成立此方程,一定由实验直接求出

k和

b,一般有两种方法。
P1(x1,y1)和P2(x2,y2),注意不得用原始数据点,而应从图线上直接读取,其坐标值最好是整数值。所取的两点在实验范围内应尽量相互分开
一些,以减小偏差。由分析几何知,上述直线方程中,k为直线的斜率,b为直线的截距。k能够依据两点的坐标求出。则斜率为
y2
y1
(1—
k
x1
x2
13)
其截距b为x=0
时的y值;若原实验中所绘制的图形并未给出
x=0段直线,可
将直线用虚线延伸交
y轴,则可量出截距。假如起点不为零,也能够由式
x2y1
x1y2
(1—
b
x1
x2
14)
求出截距,求出斜率和截距的数值代入方程中就能够获取经验公式。
,曲线方程的成立
在很多状况下,函数关系是非线性的,但可经过适合的坐标变换化成线性关系,在
作图法顶用直线表示,这类方法叫做曲线改直。作这样的变换不单是因为直线简单描述,更重要的是直线的斜率和截距所包括的物理内涵是我们所需要的。比如:
(1)y=axb,式中a、b为常量,可变换成lgy=blgx+lga,lgy为lgx的线性函数,斜
率为b,截距为lga。
(2)y=abx,式a、b中为常量,可变换成lgy=(lgb)x+lga,lgy为x的线性函数,斜率为lgb,截距为lga。
(3)PV=C,式中C为常量,要变换成P=C(1/V),P是1/V的线性函数,斜率为
C。
(4)y2=2px式中p为常量,y=±2px1/2,y是x1/2的线性函数,斜率为±2p
。
(5)y=x/(a+bx),式中

a、b

为常量,可变换成

1/y=a(1/x)+b,1/y

为

1/x

的线性函数,
斜率为a,截距为b。
(6)s=v0t+at2/2,式中
斜率为a/2,截距为v0。

v0,a

为常量,可变换成

s/t=(a/2)t+v0,s/t

为

t的线性函数,
,必定质量的气体的压强

P随容积

V而变,画

P~V图。为一
双曲线型如图1—4—1所示。
用坐标轴1/V置换坐标轴V,则P~1/V图为向来线,如图1—4—2所示。直线的斜率为PV=C,即玻—马定律。
PP
O
1
V
O
V
图1—4—1P~V曲线
图1—4—2P~1/V曲线
例2:单摆的周期
T随摆长L而变,绘出
T~L实验曲线为抛物线型如图
1—4—3
所示。
若作T2~L图则为向来线型,如图
1-4—4所示。斜率:kT2
4
2
L
g
由此可写出单摆的周期公式:
L
T2
g
T
T2
L
O
L
图1—4—3
TL曲线
图1—4—4T2~L曲线
~
逐差法
对随等间距变化的物理量
x进行丈量和函数能够写成
x的多项式时,可用逐差法进
行数据办理。
比如,一空载长为x0的弹簧,逐次在其下端加挂质量为
m的砝码,测出对应的长
度x1,x2,
,x5,为求每加一单位质量的砝码的伸长量,
可将数据按次序对半分红两组,
使两组对应项相减有:
1
(x3
x0)(x4x1)(x5x2)
1
[
3m
3m
]
[(x3x4x5)(x0x1x2)]
3
3m
9m
这类对应项相减,即逐项求差法简称逐差法。它的长处是尽量利用了各丈量量,而又不减少结果的有效数字位数,是实验中常用的数据办理方法之一。
注意:逐差法与作图法同样,都是一种大略办理数据的方法,在一般物理实验中,常常要用到这两种基本的方法。在使用逐差法时要注意以下几个问题:
1、在考证函数的表达式的形式时,要用逐项逐差,不用隔项逐差。这样能够查验每个数据点之间的变化能否切合规律。
2、在求某一物理量的均匀值时,不行用逐项逐差,而要用隔项逐差;不然中间项数据会相互消去,而只到用首尾项,白白浪费很多半据。
如上例,若采纳逐项逐差法(相邻两项相减的方法)求伸长量,则有
1
(x1x0)(x2x1)
(x5
x4)
1
[
m
m
]
(x5x0)
5
m
5m
可见只有x0、x5两个数据起作用,没有充分利用整个数据组,失掉了在大批数据中求均匀以减小偏差的作用,是不合理的。
用最小二乘法作直线拟合
作图法固然在数据办理中是一个很便利的方法,但在图线的绘制上常常会引入附带偏差,特别在依据图线确立常数时,这类偏差有时很明显。为了战胜这一弊端,在数理
统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题),常用一种以最小二乘法为基础的实验数据办理方法。因为某些曲线的函数能够经过数学变换改写为直线,比如对函数
yae

bx取对数得

lny

lna

bx,lny与

x的函数关系就变为直线型了。所以这一
方法也合用于某些曲线型的规律。
下边就数据办理问题中的最小二乘法原则作一简单介绍。
设某一实验中,可控制的物理量取x1,x2,,xn值时,对应的物理量挨次取
y1,y2,,yn值。我们假设对xi值的观察偏差很小,而主要偏差都出此刻yi的观察
上。明显假如从(xi,yi)中任取两组实验数据便可得出一条直线,只可是这条直线的偏差有可能很大。直线拟合的任务就是用数学剖析的方法从这些观察到的数据中求出一个偏差最小的最正确经验式yabx。按这一最正确经验公式作出的图线虽不必定能经过每一个实验点,可是它以最靠近这些实验点的方式光滑地穿过它们。很明显,对应于每一
个xi
值,观察值
y和最正确经验式的
y值之间存在一偏差
δ
,我们称它为观察值
y的偏
i
yi
i
差,即
yi
yi
yyi(abxi)(i1,2,3,,n
)
(1—
15)
最小二乘法的原理就是:
如各观察值yi
的偏差相互独立且听从同一正态散布,
i
的偏
当y
差的平方和为最小时,获取最正确经验式。依据这一原则可求出常数
a和b。
设以S表示yi
的平方和,它应知足:
S

2
2
yi
yiabximin
(1—
16)
上式中的各yi和xi是丈量值,都是已知量,而
a和b是待求的,所以
S实质是a和b的
函数。令S对a和b的偏导数为零,即可解出知足上式的
a、b值。
S
2
yi
abxi
0,
S
2
yi
abxi
xi
0
a
b
即
y
i
nabx0
,
xiyi
axi
bxi2
0
i
其解为
xy
i
x
i
y
i
x
2
xi
yi
nxiyi
i
i
(1—17)
a
2
nxi2
,b
2
nxi2
xi
xi
将得出的a和b代入直线方程,即获取最正确的经验公式
y
abx。
上边介绍了用最小二乘法求经验公式中的常数
a和b的方法,是一种直线拟合法。
它在科学实验中的运用很宽泛,特别是有了计算器后,计算工作量大大减小,计算精度
也能保证,所以它是很实用又很方便的方法。用这类方法计算的常数值
a和b是“最正确
的”,但其实不是没有偏差,它们的偏差估量比较复杂。
一般地说,一列丈量值的δyi大(即
实验点对直线的偏离大
),那么由这列数据求出的
a、b值的偏差也大,由此定出的经验
公式靠谱程度就低;假如一列丈量值的
δyi小(即实验点对直线的偏离小
),那么由这列数
据求出的a、b值的偏差就小,由此定出的经验公式靠谱程度就高。直线拟合中的偏差
预计问题比较复杂,可参阅其余资料,本教材不作介绍。
为了检查实验数据的函数关系与获取的拟合直线切合的程度,
数学上引进了线性相
关系数r来进行判断。r定义为
r
xi
yi
xi
2
(yi)2
(1—18)
式中xixix,yi
yi
y。r
的取值范围为
1
r
1。从有关系数的这一特征可
以判断实验数据能否切合线性。假如
r很靠近于
1,则各实验点均在一条直线上。普物
实验中r如达到,就表示实验数据的线性关系优秀,各实验点齐集在一条直线邻近。相反,有关系数r=0或趋近于零,说明实验数据很分别,无线性关系。所以用直线拟合法
办理数据时要算有关系数。拥有二维统计功能的计算器有直接计算
r及a、b的功能。,丈量所采纳的仪器与其精度是多少
(1)
cm;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5);
(6)
℃;
(7)s;
(8)s;
-
3m。
(9)×10

(1)-;
(2)÷;
(3)÷-;
(4)

;
(
5)

(
)
;


(103
)
(
)
6)V=πd2h/4,已知h=,d=×10-3(m),计算V。
,写出正确答案
1)L=(km)的有效数字是五位;
2)d=±(cm);
3)h=×104±2000(km);
4)R=6371km=6371000m=0(cm);

(1)将L=±(cm)的单位变换成
μm,mm,m,km。
(2)将m=±(kg)的单位变换成
g,mg,t
。
=±(s),计算角频次ω的丈量结果,写出标准式。

4m
的结果,此中m=±(g);D=±(cm);
H=±(cm)。
D
2H
而且剖析m,D,H对σp的合成不确立度的影响。

g,当摆角很小时有
l
l为摆长,T
T2的关系。式中
g
为周期,它们的丈量结果分别为l=±,T=±,求重力加快度及其不确立度。
附录Ⅰ
教课中常用仪器偏差限
仪
米尺
物理天平()
游标卡尺(20、50分度)
电桥(QJ23型)
千分尺
电位差计(UJ33型)
分光计
转柄电阻箱
读数显微镜
电表
各种数字式仪表
其余仪器、量具
记时器(1s、、)
仪=
仪=最小分度值(
002mm)
仪=
仪=最小分度值(1’或30”)
仪=
仪=仪器最小读数
仪=仪器最小分度(1s、、)

仪=
仪=K%·R(K是正确度或级别,R为示值)
仪=K%·v(K是正确度或级别,v为示值)
仪=K%·R(K是正确度或级别,R为示值)
仪=K%·M(K是正确度或级别,M为示值)
仪是依据实验际状况由实验室给出示值偏差限