拓扑-点集拓扑学彩板.ppt

点集拓扑学
授课教师 fish
河北师范大学数学与信息科学学院
2010 年 9 月
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拓扑学导论
●拓扑学是几何学的分支,且是与欧氏几何
不同的几何学分支
●研究对象:一般的几何图形(拓扑空间)
●中心任务:研究几何图形的一类性质即所谓的拓扑性质,但这类性质与我们在欧氏几何中研究的长度、角度、面积等不同。
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平面欧氏几何的研究对象与内容
●研究对象:直线和圆构成的图形
●研究内容:长度、角度、面积、全等;
两图形全等即经过平移、旋转、对称两
图形重合;而长度、角度、面积经过上
述正交变换保持不变。
●结论:欧氏几何研究图形在正交变换
下的不变性和不变量。
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与拓扑性质相关的几个例子
一笔画问题
哥尼斯堡七桥问题
四色问题
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一笔画问题
平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成,使得在每条线段上不重复?
例如:日,中可以一笔画出
田,目不能一笔画出
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欧拉的结论
欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现,凡是能用一笔画成的图形,都有这样一个特点:每当你用笔画一条线进入中间的一个点时,你还必须画一条线离开这个点。否则,整个图形就不可能用一笔画出。也就是说,单独考察图中的任何一个点(除起点和终点外),它都应该与偶数条线相连;如果起点与终点重合,那么,连这个点也应该与偶数条线相连。
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一笔画问题的特点
该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图形中点线之间的相关位置,或相互连结的情况不能变。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市,布勒格尔河的两条支流在这里汇合,然后横贯全城,流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了4块,于是,人们建造了7座各具特色的桥,把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天,7座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起,脚下的桥梁触发了人们的灵感,一个有趣的问题在居民中传开了:谁能够一次走遍所有的7座桥,而且每座桥都只通过一次?  这个问题似乎不难,谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是,谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们,也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。
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七桥问题
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