泊松过程.ppt

2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
1
第三章泊松过程
理解泊松过程的基本概念
掌握泊松过程的数字特征
掌握泊松过程时间间隔和等待时间的分布
掌握泊松过程达到时间的条件分布
了解非齐次泊松过程和复合泊松过程
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
2
第一节泊松过程的定义
电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)。对于固定的t,X(t)是取非负整数的随机变量。由于在不相重叠的时间间隔内收到的呼叫数是相互独立的,故{X(t) ,t[0,+]}是独立增量随机过程。
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
3
第一节随机过程的定义
{N(t), t≥0 }为计数过程,若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件:
(1) N(t)≥0;
(2) N(t)取正整数值;
(3)若s<t,则 N(s)≤ N(t);
(4)当s<t时, N(t)- N(s)等于区间(s,t]中“事件A”发生的次数。
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
4
第一节随机过程的定义
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
5
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
6
称计数过程{N(t), t≥0 }为具有参数>0的泊松过程,若它满足下列条件:
(1) X(0)=0;
(2)X(t)是独立增量过程;
(3)在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从参数t>0 的泊松分布,即对任意s, t ≥0 ,有
从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=t。由于
表示单位时间内事件A发生的平均次数,故称为此过程的速率或强度。
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
7
称计数过程{N(t), t≥0 }为具有参数>0的泊松过程,若它满足下列条件:
(1) X(0)=0;
(2) X(t)是独立、平稳增量过程;
(3) X(t)满足下列条件:
定义中的条件(3)说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两个或两个以上事件同时发生。
可以证明两个定义是等价的。
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
8
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
9
第二节泊松过程的基本性质
一、数字特征
2017/12/17
北京邮电大学电子工程学院
10
二、时间间隔与等待时间的分布
如果我们用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待时间等分布问题都需要进行研究。下面我们对泊松过程与时间特征有关的分布进行详细的讨论。
设{X(t),t≥0}是泊松过程,令X(t)表示t时刻事件A发生(顾客出现)的次数,W1,W2,…表示第一次、第二次,…事件A发生的时间,Tn(n ≥1)表示从第(n-1)次事件A发生到第n次发生的时间间隔。通常称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间, Tn为第n个时间间隔.