第一章 行列式(2).ppt

线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课,也是在自然科学和工程技术各个领域中广泛应用的数学工具。
它不但是学****数值分析、最优化方法、离散数学和微分方程等数学课程的基础,也广泛地应用于工程学、计算机科学、物理学、生物学、经济学、统计学、力学、信号与信号处理、系统控制、通信、航空等学科和领域。
随着现代科技的飞速发展和计算机的广泛应用,线性代数在理论和应用上的重要性更加突出
行列式起源于线性方程组的求解问题, 早在1693年德国数学家Leibniz就使用了行列式, 1750年Cramer建立了求解线性方程组的行列式基本公式. 现在, 行列式已经是数学中的一个基本概念.
本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法,最后介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的Cramer法则. 本章的重点内容是行列式的计算, 主要是利用行列式性质计算行列式。
§1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式:
二元线性方程组:
(1. 1)
分别消去变量x2、x1可得:
(a11 a22 - a12 a21 ) x1= b1 a22 - a12 b2;
(a11 a22 - a12 a21 ) x2= a11 b2 - b1 a21;
当a11 a22 - a12 a21 ≠0时,求得方程组()的解为:
第一章行列式
上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆。
于是有:
若记:
则()的解为:
,即:
称a11a22-a12a21为数表
所确定的二阶行列式, 记为
例1 求解二元线性方程组:
解由于
因此
二、三阶行列式
类似地, 设有9个数排成3行3列的数表
()
()
()式称为数表()所确定的三阶行列式。
记
例2 计算三阶行列式
例3 求解方程
解方程左端的三阶行列式
即2x2-12x+16=0 , 解得 x=2 或 x=4。
解 D= 12-6+12+36+12+2=68
D=4x2+32+4x-16x-16-2x2
=2x2-12x+16
对三元线性方程组:
若记:
则当系数行列式D≠0时,仍然有解:
§2 n阶行列式的定义
三阶行列式可由二阶行列式定义为:
同样的, 二阶行列式也可以由一阶行列式定义为:
特别的, 只由一个数a11排成一行一列的表也可以定义一阶行列式:
|a11|=a11
设有n2个数,排成n行n列的数表
此表对应的如下形式的一个数值:
称为此表对应的n阶行列式。
其中, aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,n)称为行列式的第i行, 第j列元素;A1j=(-1)1+jM1j (j=1,2,…,n), M1j为D中划掉第一行