第一章 行列式2.doc

第一章 行列式
历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的公式解的过程中产生的. 本章主要介绍阶行列式的概念、（Cramer）法则.
§ 二阶与三阶行列式
，由此引出二阶与三阶行列式的概念.
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
（）
用消元法从（）式中消去，得
，
同样地，从（）式中消去，得
当时，求得方程组（）的解为
， （）
这就是二元线性方程组（）的公式解，为便于叙述和记忆，我们引入二阶行列式的概念：
定义 我们称
（）
为二阶行列式，其中数叫做行列式的元素，横排叫做行，竖排叫做列. 元素的第一个下标叫做行标，表明该元素位于第行；第二个下标叫做列标，表明该元素位于第
列. 由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和，这种规律可以用“对角线法则”来记忆，参见下图：
把到的实连线称为主对角线，把到的虚连线称为次对角线，二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去次对角线上两元素之积.
有了二阶行列式的概念，二元线性方程组的公式解（）式可以用行列式表示，即
当D≠0时，二元线性方程组（）的解可唯一地表为：
（）
其中分母是由方程组（）的系数所确定的二阶行列式，即系数行列式. 的分子是用常数项替换x1的系数，（即的第一列）所得的二阶行列式；的分子是用常数项替换x2的系数，（即的第二列）所得的二阶行列式. 本节后面讨论的三元线性方程组有类似的规律性，请同学们学****时注意比较.
用二阶行列式解线性方程组
解 计算二阶行列式：

由公式（）得

二、三元线性方程组与三阶行列式
对于三元线性方程组
（）
利用消元法消去相应变量可得：
其中
()
当时，方程组（）有唯一解
，，. ()
下面引进三阶行列式的概念.
我们称记号
（）
为三阶行列式.
同样我们可以用对角线法则来记忆三阶行列式，如下图：
由上述定义可见，三阶行列式是由三行、三列9个元素组成的一个表达式，展开式是6项的代数和，每项是由不同行、不同列的3个元素相乘而成，其中3项为正、3项为负，正项是各实线上3个元素乘积；负项是各虚线上的3个元素的乘积.
根据三阶行列式的定义, ()可写为
= =
= =
称为方程组()的系数行列式. 若系数行列式，那么三元线性方程组（）有唯一解. 其解由公式()给出.
解三元线性方程组
解 用对角线法计算行列式，得：
故方程组的解为：

.
(1) (2)
(3) (4) .

.
:
(1) (2)
(3)
§ 全排列及其逆序数
从上节内容中可知利用二阶、三阶行列式可以表示二元、三元线性方程组的解，为求解元的线性方程组，需引入阶行列式，而定义阶行列式必须弄清楚二阶、三阶行列式的结构，为此我们讨论排列及其逆序.
一、 排列和逆序
由正整数组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个级排列，简称排列，记为.
例如 ２级排列共有２种：12 21
３级排列共有６种：123 132 213 231 312 321
一般地，级排列总共有个，其中称为自然排列或标准排列.
在一个n级排列中，若数，则称数与构成一个逆序，一个级排列中的逆序总数称为该排列的逆序数, 记为.
我们可按如下方法来计算排列的逆序数：
设在一个n级排列中比大且排在前面的数共有个，则该排列的逆序数为：