高等数学3复习提纲.doc

复****提纲
注意:以下出现的Ex1表示的对应****题中的第一题,其余表示符号类推。
掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分
直角坐标系下:
把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序,再把其中的二重积分化为二次积分,由此把三重积分化为三次积分。
先一后二:先把向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy面投影得到Dxy),再以Dxy的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面,把的边界曲面分为上下部分,其方程分别记作,。则表示为:。再把Dxy上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
先二后一:先把向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z轴投影得到[Z1,Z2]),再从[Z1,Z2]上任取一点z,过该点作一垂直于z轴的平面,截得到平面闭区域Dz,则表示为:。再把Dz上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。
柱面坐标系下:实为直角坐标系下使用先一后二的做法时,选择Dxy为极坐标系,把表示为如下形式:。Dxy下的取值范围可参照二重积分(有两种情形)。当的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时,可考虑使用柱面坐标系。
球面坐标系下:当的是球体或半球体或球面与锥面围成时,可考虑使用球面坐标系,其积分变量的范围的确定请参照课堂例题。
示例:159页例1,例2,例3****题10-3,Ex1,Ex4,Ex9,Ex10。
了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式,会套用公式计算。
示例:167页例1,例4****题10-4,Ex1,Ex5
掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法,曲线质量、质心的求法
L是平面曲线时,其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程,化弧长的曲线积分为定积分的关键点:曲线方程代入被积函数进行化简;弧微分ds套公式化简;由曲线方程确定积分限。
L是空间曲线时,只考虑其方程是参数方程的情形,做法同上。
示例****题11-1,Ex3 (1),(2),(4),(6),(7),Ex4。
掌握对坐标的曲线积分的基本计算方法
计算方法与与对弧长的曲线积分类似,区别是积分变量的积分限要考虑曲线的方向,积分下限对应于起点,积分上限对应于终点。
示例:197页例2,例3****题11-2,Ex3 (1),(4),(7)
掌握格林公式的使用方法以及格林公式的应用
格林公式的条件、结论
格林公式使用时,若曲线不封闭,可选择直线、折线段或曲线段补全。
曲线积分计算平面闭区域的面积公式
平面曲线积分与路径无关的条件(单连通区域下)
全微分求积(与全微分方程结合)
示例****题11-3,Ex2 (1),Ex4,Ex5,Ex8(可作为全微分方程的练****题)
掌握对面积的曲面积分的基本计算方法
化对面积的曲面积分为二重积分的关键点:曲面方程代入被积函数进行化简;曲面面积公式dS借用前述公式化简;积分区域由曲面向坐标面投影确定。
示例****题11-4,Ex5,Ex6 (1)
掌握对坐标的曲面积分的基本计算方法
化坐标的曲面积分为二重积分的关键点:曲面方程代入被积函数进行化简;由题目中出现的坐标来确定曲面向哪一个坐标面投影,积分曲面的侧由其指定侧的法向量的方向余弦的正负确定。226页,例2
也可使用两类曲面积分之间的关系,在dydz、dzdx、dxdy之间