浅谈因式分解几种方法(论文).doc

因式分解常用的几种方法
摘要:数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深——高斯。因式分解,它或许很普通,但它往往能使我们进一步地了解数学的博大精深。因式分解的应用十分的广泛,它在我们的身边时刻存在着。可这一条条有趣的因式分解题,我渐渐地被它吸引住了。
让我们先来认识一下因式分解吧:把一个多相式的积化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。它是中国数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地初中数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
关键词:因式分解双十字相乘法分组分解法分解因式
前言:因式分解方法灵活,技巧性强,学****这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力。分解因式的方法有很多,比如提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式
。下面,就让我带领大家走进因式分解的奇妙的美丽数学世界。
在我的学****经历中,我最喜欢的就是十字相乘法。双十字相乘法运用很巧妙,可以将一个很复杂的数据简单地呈现,我们一起来学****一下吧!!
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:图如下,把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
①②③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
纯粹数学可以是实际有用的,而应用数学也可以是优美高雅的。下面,就来看看因式分解的题目了,你们想必也会乐在其中。

1.△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。
分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△ABC为等腰三角形。

3证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

如果从运算角度上考虑,也就是把一个和在保持大小不变的条件下,写成一个乘积的形式,而有些运算积比和算起来要简单,因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用.
例1 有一天,小明和爸爸去公园里散步,,为了便于游人通行,决定修两条互相垂直的小路,,然后小明就问爸爸:“剩余绿地的面积是多少?”爸爸笑了笑,便轻易的回答说:“剩余绿地的面积为2500m2
你知道其中的奥秘么?在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.。
分析:用整块绿地的面积减去小路的面积
就是剩余绿地的面积
解:-(2××-)
=-2××+
=(-)2
=502
=2500
所以剩余绿地的面积为2500m2
应用公式法,常用的公式有:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
公式(5)证明如下:
公式(6)证明如下:
在特殊情况下,当=0时,就有=0,
于是,
(7)
这就是说,如果三个整式的和为零,那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍.