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第一章测量误差

本章包含 4 节内容。在第 1 节“测量与误差”中,介绍了诸如测量、误差、
精密度、正确度和准确度等常用概念,并对测量和误差分别进行了分类。在第 2
节“误差处理”中,分别就随机误差计算和仪器误差的判断进行了讲解。对于随
机误差,特别引入了有限测量次数下的 t 分布概念,因为物理实验中所有的实验
都是有限次测量;同时引入狄克逊检验法和格鲁布斯准则两种方法来判断是否可
对个别测量数据进行取舍;对于仪器误差,重点强调了仪器误差是与置信概率相
联系,而不同的仪器会有不同的误差分布函数。第 3 节“测量不确定度”中,详
细说明了 A 类和 B 类不确定度的评估与表示,并讲解了如何在直接测量和间接测
量两种不同的测量条件下对测量不确定度进行估算;同时给出了微小误差的可忽
略准则,以及简单介绍了不确定度分析在实验设计中的作用。在第 4 节“实验数
据有效位数与修约”中,按照实验过程,分别介绍了在原始数据记录、数据运算
和结果表示时如何进行实验数据修约。

§ 测量与误差
测量及分类
测量就是通过一定的实验方法、借助一定的实验器具将待测量与选作标准的
同类量进行比较的实验过程。测量结果应包括数值、单位以及结果可信赖的程度
(不确定度)三部分。
按照测量方法来划分,测量分为直接测量和间接测量。
直接测量是指可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量。如用米尺测长
度,用温度计测温度,用电表测电流、电压等都是直接测量。
间接测量是指通过一个或几个直接测得量,利用已知函数关系计算出的物理
量。如用单摆法测量重力加速度g时,g=4π2L/T2,周期T、摆长L是直接测量值,
而g是间接测量值。
随着实验技术的进步,很多原来只能间接测量的物理量,现在也可以直接测
量,例如电功率、速度等量的测量。
按照测量条件来划分,测量又可分为等精度测量和不等精度测量。
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等精度测量是指在相同的测量条件下对同一物理量进行的多次测量。例如,
同一个人、用同样的方法、使用同样的仪器对同一待测量进行多次重复测量。尽
管每次的测量值可能不相等,但每次测量的可靠性都是一样的,没有理由认为哪
一次(或几次)的测量值更可靠或更不可靠。
不等精度测量是指不同的测量条件(如使用仪器的不同、测量方法的改变或
者测试人员的变更)对同一物理量的多次测量。不等精度测量的每次测量结果的
可靠性都不同。
实际上,一切物质都在运动中,没有绝对不变的人和事物,只要其变化对实
验的影响很小乃至可以忽略,就可以认为是等精度测量。以后说到对一个量的多
次测量,如无另加说明,都是指等精度测量。

误差及分类
物理实验就是对一些物理量进行测量的过程。任何待测的物理量在一定客观
条件下总存在着一个真实的值,称之为该物理量的真值(true value)。但是,由于
实验理论的近似性、实验仪器灵敏度和分辨能力的局限性、环境的不稳定性等因
素的影响,待测量的真值实际上是不可能通过测量准确复现的,我们永远无法准
确得知。测量结果和真值之间总有一定的差异,这种差异定义为测量误差。测量
误差可以用绝对误差表示,也可以用相对误差表示。设测量值 x 的真值为 a,则:
绝对误差(δ) =x − a (-1)
绝对误差δ)(
相对误差 E )( = × %100 (-2)
r 真值 a)(
由于真值是不能确知的,所以测量值的误差也不能确切知道,因此测量的任
务就是给出被测真值的最佳估计值,并估算出这种最佳估计值的可靠程度。
根据误差的性质和产生原因将误差分为系统误差、随机误差和异常值三种。
(1) 系统误差
系统误差(systematic error)是指在等精度的重复测量中误差保持恒定,或以
可预知的方式变化的误差。
系统误差的来源主要有以下几方面:
①由于仪器本身的缺陷或没有按规定的条件使用仪器而造成的误差。例如,
仪器的零点不准造成的误差;等臂天平两臂不等长造成的误差;在 20℃
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的条件下标定的标准电阻在 30℃的条件下使用造成的误差等。
②由于测量所依据的理论公式本身的近似性,或实验条件不能达到理论公
式所规定的要求,或测量方法所带来的误差。例如,利用单摆测量重力
加速度 g,所依据的公式为= 4π TLg 22 ,此公式成立的条件是单摆的
摆角趋于零,而在测量周期时又必须要求有一定的摆角,这就决定了测
量结果中必然含有系统误差。
③由于测量者本人的生理或心理特点所造成的误差。例如,测量时间时,
测量者可能有计时超前或落后的偏好;在对准标志时,