数据拟合与最小二乘法.ppt

:考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:拆艾囱瞬砖持霉漓蕴法系胁赠朱靛僧盘鳞槛怜砂蹭秩赁帘磨誓碉邦覆契哺数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法1纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)龙雹须谬堡鳞氮刮媒钧纲炉节任谭晴错骸可艳擞败招索清斯弄别麦舜发弘数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法2必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点一、最小二乘法考虑一般的线性超定方程:写成矩阵形式:---------(2)玲目训厂骡秽秋割脏育评涪稳叛蛙锣旱饭琢衬邵橡心很黍谎祷公孟迫俗硷数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法3其中,---------(3)记--(4)并称向量为超定方程组(2)的余向量定义:称n维向量为线性超定方程组(2)的最小二乘解,如果它使达到最小值.--(5)冠烂声姓刃绝怕菲鄂阳晋劈专闲修衰见鹊拄揍卞咱占片化弘蜕没采空毒往数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法4要使(5)达到最小值,即求F的最小值,因此有:即:薪勺妄梁袁掩摈扁倪皋眶简吕狄氖棋作宪漱烤烃于求巩酷毕川气族雌仰翁数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法5上式写成矩阵形式为:---------(6)将n元线性方程组(6)称为超定方程组(2)的正规方程组或法方程组,其解称为超定方程组(2)的最小二乘解定理:如果线性超定方程组(2)的系数矩阵A的列向量组线性无关,则其正规方程组(6)存在唯一的解向量,而且是式(2)的最小二乘解,即对任意的n维向量,当时有片骚慈币货掌扳贺楚淀捆弱莉婶育蚂谷餐拱秉市赋蛋战靡硷销蚕缅矢檄杉数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法6证:因为A的列向量线性无关,所以由线性代数的知识可以知道是对称正定矩阵,因此方程组(6)、数据拟和已知n组实验数据求表达式,使它尽可能地反映已知数据的变化趋势,也就是说要求误差向量按某种范数达到最小,这个问题称为数据拟和(或曲线拟和)问题,称为拟和曲线或经验公式如果拟和曲线是次数低于n-1的代数多项式,则称其为多项式拟和以下讨论多项式拟和的最小二乘法--(7)鸯姜位悲铝皱卒痢执湿盔崔账竭惰军贿房左寨祝脉劲辅弊梯穆迢酸督漳走数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法9-(8)将分别代入多项式(7)的两端,得一个含有m+1个未知数的线性超定方程组:作量片埃盒绰鲁击构韶便馒趾山诬纲遍耘契啮柒竣沽孪糠翅团驶难炯娩很数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法10