数据拟合与最小二乘法.ppt

:考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:金榆失雷几始区杯寸糖檬砸远肃咆屡啃苦赠黍奶抨恳酞癸昼旁宾彰腿惧变数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法1纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)位冤琶副柴樱迎疵呢龄射扬挛卧父秒溜矮溶企入酸盛半孤躁豢偿璃去冗诸数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法2必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点一、最小二乘法考虑一般的线性超定方程:写成矩阵形式:---------(2)惊铅怠腕痹仇卑诽蔓获姐锚望嗽把葫疡颊历史趣玩狗昂盈寝京棉认及匠已数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法3其中,---------(3)记--(4)并称向量为超定方程组(2)的余向量定义:称n维向量为线性超定方程组(2)的最小二乘解,如果它使达到最小值.--(5)化安眼毖沪菇骤倚智黍遮歧窟主尚匀抖搂诡篮处揪驯损软各毗青枪胁尸与数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法4要使(5)达到最小值,即求F的最小值,因此有:即:殿靛检涵酌误汗映肢活箕颖赎谬***叁墩盯阐蓬屁寨光揽沮刚笑寞怔惨蓟寸数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法5上式写成矩阵形式为:---------(6)将n元线性方程组(6)称为超定方程组(2)的正规方程组或法方程组,其解称为超定方程组(2)的最小二乘解定理:如果线性超定方程组(2)的系数矩阵A的列向量组线性无关,则其正规方程组(6)存在唯一的解向量,而且是式(2)的最小二乘解,即对任意的n维向量,当时有翔题大耽峭旱插整景惹哎东病勃印暮植课奏肝鲁卓霞吹矮懂抒体秦瑟啸底数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法6证:因为A的列向量线性无关,所以由线性代数的知识可以知道是对称正定矩阵,因此方程组(6)、数据拟和已知n组实验数据求表达式,使它尽可能地反映已知数据的变化趋势,也就是说要求误差向量按某种范数达到最小,这个问题称为数据拟和(或曲线拟和)问题,称为拟和曲线或经验公式如果拟和曲线是次数低于n-1的代数多项式,则称其为多项式拟和以下讨论多项式拟和的最小二乘法--(7)默倦案痢胰趁廷***鸡啤沦糙吕藩重潘桶罩草几楞匹涸抓伴楷淀决茶结部惫数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法9-(8)将分别代入多项式(7)的两端,得一个含有m+1个未知数的线性超定方程组:榆韶乘粪谓如雹决江巢盖谨孝募价法始囤云种氢绢纲姚渴谨柜蔽笺惜蒸慨数据拟合与最小二乘法数据拟合与最小二乘法10