常微分方程教案.pdf

第一章基本概念授课时间:授课类型:理论课教学目标:了解微分方程的物理背景;掌握微分方程的基本概念。教学重点:微分方程的基本概念教学难点::§、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科,是学****泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备,本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。300多年前,Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,,,,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、::(或定性方法):求微分方程满足一定初始条件(或边界),苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。2、什么叫微分方程代数方程(初中就学过):求的是未知量,如:2xx=−+043,x是未知量。函数方程:求的是一个或几个函数,数分中学过,方程确定函数,如⎧zyx=++122;yyx≥=−0,0⎨222⎩zyx=++9数学分析中研究了变量之间的各种函数计函数的微分与积分,这些函数反映了客观现实世界运动过程中量与量之间的关系,函数未知时,一般知道变量与函数的代数关系式,通过解代数方程解出未知函数。在大量的实际问题中,这样的代数关系式建立不起来,反而可以建立自变量、未知函数及导数组成的关系式,这种关系式(等式)是叫做微分方程。注:导数不可缺少。通过一些方法可以求出一些方程的解(未知函数),而我们说的常微分方程指的是自变量只有一个的微分方程,即未知函数是一元函数。联系着自变量、未知函数及它们的导数(或微分)间的关系式(一般是指等式),数学上称之为微分方程。下面介绍一些现实生活中的几个例子,给出各种常微分方程的模型,了解构建常微分方程模型的几种方法,用到一些物理、化学上的一些基本定律,我们直接拿来用。(详细建模的方法你们以后还会开设数学建模这门课,我们这门课主要是对已有的模型进行分析解答)3、各种常微分方程模型微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。抽象、简化求解实际问题的信息数学模型数学模型解答解释验证实际问题例1求一曲线,设在曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的2倍,并且该曲线经过点(1,2).dy=2xy=2初始条件dxx=1=2xdxdy。由于微分形式不变性,两边积分2+=cxy例2物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在时刻t=0时,测得它的温度为u0=150℃,10分钟后测得温度为u1=100℃.确定物体的温度与时间的关系,=24℃.解设物体在时刻t的温度为uut=(),由牛顿(Neweon)冷却定律可得du=−ku(−u)(k>0,u>u)(1)dtaa这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1)改为du=−kdt(2)uu−a两边积分,得到为任意常数ln(uu−=−+a)ktc%c%c%−kt令e=c,进而uu=+ace(3)根据条件1t=0时,uu=0,和条件2t=10分钟时,uu=1,得到,kc的值cu=