常微分方程教案.docx

河北民族师范学院课程教案(章节、专题首页)课程名称常微分方程章节、(齐次方程),熟练掌握变量分离方程的解法。,熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。,掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。,掌握隐式方程的参数解法。教学重点重点是一阶微分方程的各类初等解法教学难点积分因子的求法以及隐式方程的解法教学内容与时间分配变量分离方程,齐次方程以及可化为变量分离方程类型,一阶线性微分方程及其常数变易法,伯努利方程,恰当方程及其积分因子法,隐式方程。(14课时)河北民族师范学院课程教案(分页)课程名称常微分方程§、变量分离方程1)变量分离方程形如(或)()的方程,称为变量分离方程,)求解方法如果,方程()可化为,这样变量就分离开了,两边积分,得到()()所确定的隐函数满足方程().因而()是(),可知也是()()中,)例题例1求解方程解将变量分离,得到两边积分,即得因而,:,得到两边积分,即得因而,,,,得到因而,所求的特解为例3求方程()的通解,,得到两边积分,,即有即令,得到()此外,也是()()中允许,则也就包括在()中,因而,()的通解为(),:(),有些通解包含了方程的所有解,,还应求出不含在通解中的其它解,,而特解表示的是满足特定条件的一个解,、可化为变量分离方程的类型1).形如()的方程,称为齐次方程,,ⅰ)对于方程其中函数和都是和的次齐次函数,即对有事实上,取,则方程可改写成形如()的方程.ⅱ)对方程其中右端函数是和的零次齐次函数,即对有则方程也可改写成形如()的方程对齐次方程()()即,于是()将()、()代入(),则原方程变为整理后,得到()方程()是一个可分离变量方程,按照变量分离法求解,然后将所求的解代回原变量,所得的解便是原方程(),以代入,则原方程变为即()分离变量,即有两边积分,得到这里的是任意的常数,整理后,得到()此外,方程()还有解,()中允许,则就包含在()中,这就是说,方程()的通解为().代回原来的变量,得到原方程的通解为例5求解方程解将方程改写为这是齐次方程,以代入,则原方程变为()分离变量,得到两边积分,得到()的通解即(),()还有解注意,此解不包括在通解(),:,解出,再对两边求关于的导数得,,再对两边求关于的导数得,将其代入齐次方程使方程变为的可分离方程小结:,因而,)形如()的方程经变量变换化为变量分离方程,(1)()属齐次方程,有此时,令,即可化为变量可分离方程.(2),,则方程可写成令,则方程化为这是一变量分离方程.(3)()右端的分子、分母都是的一次式,因此()代表平面上两条相交的直线,,或,否则必有,这正是情形(1)(只需进行坐标平移,将坐标原点移至就行了,若令()则()化为从而()变为()因此,得到