《随机过程》第6章习题及参考答案.doc

《随机过程》第6章习题及参考答案.doc:..湖南大学本科课程《随机过程》第6章****题及参考答案主讲教师:⑴,定义理想门限系统的特性为f1X(t)<x[0 X(/)>兀试证:(1)E[Y(t)]=Fx(x);(2)Ry(t)]=Fx(x9x9t)证:(1)丫⑴在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量,则£[/(/)]=ixP{Y(t)二1}+oxP{y(r)=0}=P{y(r)=i}=P{X(t)<x}=Fx(x,t)=Fx(x)(根据平稳性)(2)根据相关函数定义,有/?r(r)]=E[y(r+r)y(r)]=lxlxP{y(r+r)=l,y(z)=l}+OxlxP{y(r+r)=O,Y(t)=\}+lx0xP{y(r+T)=l,y(z)=0}+0x0xP{y(r+T)=0,r(r)=0}=P{Y(t+r)=1,Y(t)=1}=P{X(r+r)<X,X(z)<x}=Fx(x,x;t+T,t)=Fx(x,x;t)(木艮据平彳急性)=x2,在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程X(/),其概率密度函数为/%(兀)= —exp{-V27iax(x-a)22或在检波器后联接一个理想低通滤波器,求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值;当时结果有何变化。解:根据题意,X(/)为非零均值的中频窄带随机过程,可以表示为:X(/)二a+4;(t)cosCa^r)一As(t)sin(©/)其中心⑴、4•⑴为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量,都服从均值为0、方差为的正态分布,且在同一时刻互不相关,则检波器输出信号X2(/)=[a+&(/)cos(6^/)一As(Z)sin(©/)『=crH—A^~(/)—/1、广(/)+^ciA^(/)cos(©)/)H—A^~(/)cos(2©/)—/!、•*"(z)cos(2©)/)2222一2aAs(r)sin⑷)/)一A(:(r)As.(r)sin(2©)/)通过理想低通滤波后,滤波器输出信号为Z(/)之2+*典2(/)+企2⑴]由于随机变量心⑴、人⑴为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量, ]——=-e^22Zj(/)=—^―7—•H— 服从自由度为2的卡方分布,即Z0£.(zj=—22f(2/2)z⑴“+呼1,ZQW(卅驾亠根据随机变量函数的概率密度关系,Z(f)的一维概率密度分布函数为15E[Z(r)]=E{/+*[4?(f)+As2(/)]}=G2+*Qx2+<T/]=/+e7x2处)=竽/理⑵]azZ_Qx(z>a2)I 2 c当a=0时,£(z)=—严(z>o),E[Z(t)\=(7x\)=g[X(r)]=-xoX⑴x°X(r)<-x0-兀0<X(r)<xoX(r)>xo(1)已知输入随机过程X(f)的一维概率密度fx(xj),求输出随机过程y(r)的一维概率密度人(”/)。(2)当输入随机过程X(T)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为心(C时,求输出过程K(r)的相关函数Ry(t)0解:丫(/)的概率分布函数为"(y,/)=Qf'fxZ)dxJ—OO显然,FY(y,t)在〉匸-兀处不连续,从0跳变到「"人(兀,/)必,其导数在该处将产生一J—co个强度为厂办(栄皿的冲激,在尸兀。处也不连续,从跳变到1,其导数J—CO J—OO在该处将产生一个强度为1-匚人(兀Odx的冲激,则有心)普ato yv-兀0=<[jj°力(y+“o)+/x(y,°+o—oo[1一[:人(兀』皿》()一兀0)(2)根据相关函数的定义以及多维随机变量函数的数学期望特性,有:Ry(r)=E(y(z+r)y(r)l=E{gfX(r+T)]g[X(r)]}=fJg(x}]g(x2)fx,x2;T)cbc}dx2J—OOJ—8=frg3)g(兀2)—/ [ exp{- [x~-lrx{T)xxx2^x^}—Y 2兀J-rx2(T)Rx(0) 2[1-q(t)]Rx(0)式中,(r)=Rx(r)/Rx(0),根据g(x)的定义以及联合概率密度函数的对称性得到心(C=2x02rr[ exp{- [X,2-2q⑺x“2+打]}0必2叽如2龙J1—rgRx(0) 2[1-rx(t)]Rx(0)0AGOpOO ] |一劣LL2讪一心(0)F-心©区+2")"严]幽血+2心吋爲讪一,(叽(0)如一2[1十(;呵(。严 小九叭71>匸环点顾如-示為而常+2他轨+£}九叭:匚2刈—::g(。严fV⑺咛0严7(如2+(z)=g[X(r)]=j1 X(Z)-°(-1X(/)<0假定输入X⑴为零均值平稳高斯随机过程。