《随机过程》第6章习题及参考答案.doc

湖南大学本科课程《随机过程》第 6章****题及参考答案主讲教师:何松华教授 1. 给定实数 x 和一个平稳随机过程( ) X t ,定义理想门限系统的特性为 1 ( ) ( ) 0 ( ) X t x Y t X t x ??????试证: (1) [ ( )] ( ) X E Y t F x ?; (2) ( )] ( , , ) Y X R F x x ? ??证: (1) ( ) Y t 在任意时刻为只有两种取值 1,0 的随机变量,则[ ( )] 1 { ( ) 1} 0 { ( ) 0} { ( ) 1} { ( ) } ( , ) ( ) ( ) X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x ? ? ????????? ?根据平稳性(2) 根据相关函数定义,有( )] [ ( ) ( )] 1 1 { ( ) 1, ( ) 1} 0 1 { ( ) 0, ( ) 1} 1 0 { ( ) 1, ( ) 0} 0 0 { ( ) 0, ( ) 0} { ( ) 1, ( ) 1} { ( ) , ( ) } ( , ; , ) ( , ; ) ( ) Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ? ? ??? ?? ?? ?? ?????????????? ???????????? ???????? ??根据平稳性 2 .设平方律检波器的传输特性为 2 y x ?,在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程( ) X t ,其概率密度函数为 22 1 ( ) ( ) exp{ } 22 XXX x a f x ????? ?在检波器后联接一个理想低通滤波器,求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值; 当0a?时结果有何变化。解:根据题意, ( ) X t 为非零均值的中频窄带随机过程,可以表示为: 0 0 ( ) ( ) cos( ) ( )sin( ) C S X t a A t t A t t ? ?? ? ?其中( ) C A t 、( ) S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量,都服从均值为 0、方差为 2X?的正态分布,且在同一时刻互不相关,则检波器输出信号 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 ( ) [ ( ) cos( ) ( )sin( )] 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) cos( ) ( ) cos(2 ) ( ) cos(2 ) 2 2 2 2 2 ( )sin( ) ( ) ( )sin(2 ) C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ? ?? ??? ?? ? ?? ? ????? ?通过理想低通滤波后,滤波器输出信号为 2 2 2 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 C S Z t a A t A t ? ? ?由于随机变量( ) C A t 、( ) S A t 为互不相关( 正态分布情况与独立等价) 的正态随机变量,则 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) C