循环群,子群_图文.ppt

In our classes,all the mobile phones should be switched off !上课啦!上课啦!The class is begin!二、群中元素的阶?前面已介绍了群的阶:|G|=G中所含元素的个数。下面利用单位元e,引入另一个新概念。??(1)定义?设G为群,而a?G. 如果有整数k,使ak=e,那么使这个等式成立的最小正整数m叫做G的阶,记为|a|=,则称a的阶是无限的,记为|a|=+∞。?(2)阶的计算方法?按照定义寻找使成立的最小正整数。?例1乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中,[1]是单位元,显然|[1]|=1,而[2]12=[2]8=[2]4=[1],?|[2]|=4,同理知|[3]|=4,|[4]|=2。?例2加法群<Z5,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中,[0]是单位元,?例3加法群<Z,+ >中,0是单位元。?|0|=1,而其它元素a,|a|=+∞。?例4乘法群< R* , ? >中,1是单位元,?|1|=1,|-1|=2,而其它元素的阶都是无限。5]4[,5]3[,5]2[,5]1[,1]0[???????说明加法群<G,+ >中,元素的阶的定义自然需做相应的变化:设a?G,能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶,若这样的m不存在,则称a的阶是无限的,a的阶仍记为|a|。?例5设G={?0, ?1, ?2}是由x3=1的三个复根组成的集合,而G中的代数运算“○”是通常的乘法,那么<G , ○>必为一个乘法群****惯上记为G3,叫做3次单位根群。,231,1210?????????????证事实上?(1)?(2)结合律显然成立(因为复数集C中满足结合律).?(3)?0=1是G中的单位元.?(4)?0的逆元是?0,?1与?2互为逆元.?所以<G , ○>为一个乘法群。不仅如此,我们还知:?例6在非零有理数乘群Q*中,1的阶是1,-l的阶是2,其余元素的阶均无限.?例7在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l,-l的阶是2,i与-i的阶都是4..111)(,,333GGjijijiji????????????????。3,1210???????性质1设G是群,那么?a?G,若存在m?Z+,使a m=e ?|a|? m(可知a的阶是有限的)。证明由于a m=e ,这本身说明|a|<+∞,令|a|=k,若k > m,则与元素的阶的定义矛盾,故知k ?m。?性质2设a?G, 且若存在m?Z+使a m=e ?|a|=n <+∞, 且n|m(但不能保证n=m)。证明由整数的带余除法知,?g,r?Z使m=ng+r, r=0或者0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾(∵r<n);?r=0?m=ng?n|m.?性质3设a?G且|a|=n,那么n|m?a m=“?”正是性质2. “?”?性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),,设(k,m)=d,且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1,则由于|a|=m,就有,即其次,设(ak)n=e,则akn=,m|kn,从而m1|k1n,但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).ngmmn?????.eeaaaggnngm?????1 1 1 1 1 1( ) ( )m km dk m mk kk ma a a a a e? ????1( )mka e??说明若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk,则可得|ck|=h,于是结论(3)又可以改为:对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。?-1的阶分别为m,n,由于a m=e,于是(a-1)m= (am)-1=e-1=e,由性质l,n|m,而an=[(a-1)-1]n= [(a-1)n]-1=e-1=e,于是m|n,因此,m=n。.mxGxma????