弯曲应力、强度计算参考资料.doc

第六章弯曲应力和强度一、授课学时:6学时二、重点与难点:重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念重点处理:从弯曲变形的特点出发,让学生了解两个应力的分布规律,并对两个应力的分布进行对比,加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,,:结合梁弯曲变形的特点,推导两个应力公式,在推导中,充分利用前面的知识,发挥学生的主动性,让学生自己选择解决方法,加强学生对内容的掌握。对照σ=NA,τ=TρIP的推导消化难点,、主要内容:(一)弯曲正应力1、纯弯曲时的正应力图所示简支梁AB,载荷P作用在梁的纵向对称面内,梁的弯曲为对称弯曲,其计算简图如图所示。从AB梁的剪力图)和弯矩图可以看到,AC和DB梁段的各横截面上,剪力和弯矩同时存在,这种弯曲称为横力弯曲;而在CD梁段内,横截面上则只有弯矩而没有剪力,这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时,dMdx=Q≠0。可以知道,梁的各截面上弯矩是不同的;纯弯曲时,由于dMdx=Q=0,可知梁的各截面上弯矩为一不变的常数值,即M=常量。因此,纯弯曲时,梁的横截面上只有弯曲正应力,没有弯曲剪应力。下面,首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。纯弯曲时,根据梁的静力关系知道,横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M。但是,只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的,因此,所研究的问题是超静定的。和拉(压)杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样,必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。(1)变形几何关系为了分析梁的关系,变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线,分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面(图6-2a)。在材料试验机上作纯弯曲实验,可以观察以下现象:(1)梁上的纵线(包括轴线)都弯曲成圆弧曲线,靠近梁凹侧一边的纵线缩短,而靠近凸侧一边的纵线伸长。(2)梁上的横线仍为直线,各横线间发生相对转动,不再相互平行,但仍与梁弯曲后的轴线垂直。(3)在梁的纵线伸长区,梁的宽度减小;而在梁的纵线缩短区,梁的宽度增大根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象,经过判断、综合和推理,可作出如下假设:(1)梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面,并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。(2)梁的纵向纤维间无挤压,只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律,如图所示,用横截面1-1和2-2从梁中截取出长为dx的一个微段,横截面选用如图所示的y-z坐标系。图中,y轴为横截面的对称轴,z轴为中性轴。从图中可以看到,横截面1-1和2-2间相对转过的角度为⋂dθ,中性层O1O2曲率半径为ρ,距中性层为y处的任一纵线(纵向纤维)ab为圆弧曲线。因此,纵线ab的伸长为∆l=(ρ+y)dθ-dx=(ρ+y)dθ-ρdθ=ydθ而其线应变为∆leydθyε==ρdθ=ρ由于中性层等远的各纵向纤维变形相同,所以,公式线应变ε即为横截面上坐标为y的所有各点处的纵向纤维的线应变。(2)物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压,而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限ρP时,可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为σ=Eε=Eyρ该式表明,横截面上各点的正应力σ与点的坐标y成正比,由于截面上Eρ为常数,说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布,如图所示。中性轴z上各点的正应力均为零,中性轴上部横截面的各点均为压应力,而下部各点则均为拉应力。(3)静力关系图所示梁的横截面的窨直角坐标系O-xyz中,y轴为截而后纵向对称轴,Z轴为截面的中性轴,x为通过截面上O点与截面垂直的轴。横截面上坐标为(y,z)的点的正应力为,截面上各点的微内力σdA组成与横截面垂直的空间平行力系(图中只画出了该平行力系中的一个微内力,C为横截面的形心)。这个内力系只可能简化为三个内力分量,即平行于x轴的轴力N,对z轴的力偶矩M和对轴的力偶矩My,分别为N=⎰σdAAMy=⎰zσdAAAM=⎰yσdA0梁纯弯曲时,横截布没有轴力,有N=⎰σdA=0A将物理关系代入上式可得:⎰EAρydA=Eρ⎰AydA=0由于弯曲时Eρ≠0,必然有⎰AydA=Sz=0此式表明,z轴,即横截面的中性轴一定是形心轴,点O即为截面的形心(O点和C点重合)。x轴即为梁的轴线。从而,完全确定了纯弯曲时中性轴z在横截面上的位置。同时,由于对称弯曲时梁的横截面上弯矩My=0,可得My=⎰zσdAA=0由于横截面上的正应力σ只与点的y坐标