双曲线的简单几何性质导学案.doc

:1、通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的范围,对称性,顶点,渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心,实轴,虚轴,渐进线,等轴双曲线的概念,加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。【学****重点】双曲线的简单几何性质及其应用。【学****难点】渐近线方程的导出。知识回顾1、双曲线的定义:2、双曲线的标准方程:3、回想椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?学****过程一、双曲线的几何性质(一)试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法,根据双曲线的标准方程,研究它的几何性质。①范围:由双曲线的标准方程可得:从而得x的范围:;即双曲线在不等式和所表示的区域内。=从而得y的范围为。②对称性:以代,方程不变,这说明所以双曲线关于对称。同理,以代,方程不变得双曲线关于对称,以代,且以代,方程也不变,得双曲线关于对称。③顶点:即双曲线与对称轴的交点。在方程里,令y=0,得x=得到双曲线的顶点坐标为()();我们把()()也画在y轴上(如图)。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴,它们的长分别为。④离心率:双曲线的离心率e=,范围为。 思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?探究:在学****椭圆时,以原点为中心,2a、2b为邻边的矩形,对于估计仍以原点为中心,2a、2b为邻边作一矩形(板书图形),那么双曲线和这个矩形有什么关系?当a、b为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?双曲线特有性质-----双曲线的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时,与它的渐近线,。 (二)想一想1、根据上述五个性质,画出椭圆与双曲线的图象。 探究案:1)整合前面的探究结果,类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质,完成下表。标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系2)等轴双曲线定义及性质是什么?探究共渐近线的双曲线系?二、例题讲解(一)已知双曲线方程研究几何性质例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、(1):的实轴长虚轴长,顶点坐标焦点坐标离心率(2)的实轴长为虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方程拓展提升的渐近线方程为: