§4.4 椭球面.doc

§、概念:在空间直角坐标系下,由方程++=1所表示的曲面叫做椭球面,或称椭圆面,通常假定a≥b≥c>、图形(如图4-4)::一般地,运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为:(1)曲面的对称性:讨论图形各部分之间的关系;(2)曲面的范围:讨论图形存在的范围;(3)曲面和坐标轴、坐标平面的关系:以便对图形的大概轮廓有所了解;(4)确切研究曲面的弯曲变化情况:,研究截口曲线是怎样变化的,也叫平行截面法,:(1)曲面的对称性:椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.(2)曲面与坐标轴的交点:椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点,因此椭球面的顶点为(?a,0,0),(0,?b,0),(0,0,?c).同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a,2b,2c叫做椭球面的轴,>b>c>0时,2a,2b,2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴,而a,b,c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴.(3)曲面的存在范围:椭球面完全被封闭在一个长方体的内部,这个长方体由六个平面:x=?a,y=?b,z=?c所围成.(4)被坐标面所截得的曲线:①②③分别为xOy,xOz,yOz坐标面上的椭圆,它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).(5)被坐标面的平行平面所截得的曲线:考虑截线或④椭球面可以看成由此椭圆族④所生成,这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行,而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③,(0≤?≤?,0≤?<2?)从中消去?,?++=1的中心(即原点),沿某一定方向到曲面上一点的距离是r,设定方向的方向余弦分别为?,?,v,试证=++.证明:设P(x,y,z)为曲面上任一点,依题意有=r,其中={?,?,?},即有x=r?,y=r?,z=rv代入椭球面方程整理得=++.++=1的中心,引三条两两相互垂直的射线,分别交曲面于点P1,P2,P3,设OP1=r1,OP2=r2,OP3=r3,试证++=++.证明:设的方向余弦分别为?i,?i,?i(i=1,2,3)则由上题结果有=++,=++,=++,从而++=++.由于与x轴夹角的方向余弦分别为?1,?2,?3,从而在{O;,,}下,Ox的方向余弦就是?1,?2,?3,于是,同理有,.所以有++=++.,zOx,xOy于三点A,B,,直线上的三定点A,B,C也分别在三个坐标面上变动,另外直线上有第四点P,它与A,B,C三点的距离分别为a,b,c,当直线按照这样的规定(即保持A,B,C分别在三坐标面上)变动,:设直线的方向余弦为