§ 椭球面.doc

§ 椭球面
一、概念:
在空间直角坐标系下,由方程
++=1
所表示的曲面叫做椭球面,或称椭圆面,通常假定a≥b≥c>0.
该方程叫做椭球面的标准方程.
二、图形(如图4-4):
1. 讨论方法:
一般地,运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为:
(1) 曲面的对称性:讨论图形各部分之间的关系;
(2) 曲面的范围:讨论图形存在的范围;
(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系:以便对图形的大概轮廓有所了解;
(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况:主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面,研究截口曲线是怎样变化的,也叫平行截面法,或平行截口线法.
:
(1) 曲面的对称性:椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点:椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做
椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为(?a, 0, 0), (0, ?b, 0), (0, 0, ?c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴,它的一半叫做半轴. 当a>b>c>0时,2a, 2b, 2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴,而a, b, c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴.
(3) 曲面的存在范围:椭球面完全被封闭在一个长方体的内部,这个长方体由六个平面:x=?a, y=?b, z=?c所围成.
(4) 被坐标面所截得的曲线:
①
②
③
分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆,它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).
(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线:考虑截线
或
④
椭球面可以看成由此椭圆族④所生成,这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行,而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.
用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面,结论类似.
3. 椭球面的参数方程为
(0≤?≤?, 0≤?<2?)
从中消去?, ? 可得椭球面的标准方程.
例1. 由椭球面
++=1的中心(即原点),沿某一定方向到曲面上一点的距离是r,设定方向的方向余弦分别为?, ?, v, 试证
=++.
证明:设P(x, y, z)为曲面上任一点,依题意有
=r, 其中={?, ?, ?},
即有 x=r?, y=r?, z=rv 代入椭球面方程整理得
=
+
+
.
例2. 由椭球面++=1的中心,引三条两两相互垂直的射线,分别交曲面于点P1, P2, P3,设OP1=r1, OP2=r2, OP3=r3,试证
+
证明:设
+
=
+
+
.
的方向余弦分别为?i, ?i, ?i(i=1, 2, 3)则由上题结果有
===
+++
++++
,
,
,
+
,. ,
}下, Ox的
从而
由于
++=
与x轴夹角的方向余弦分别为?1, ?2, ?3, 从而在{O;
,同理有
,
方向余弦就是?1, ?2, ?3, 于是. 所以有
++=++.
例3