第一章矢量分析与场论基础题解.doc

矢量分析与场论基础求下列温度场的等温线1),2)解求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得⑴,;⑵求下列标量场的等值面1),2),3)解据题意可得⑴⑵,⑶,,求矢量场经过点的矢量线方程。解根据矢量线的定义,可得解微分方程,可得,将点的坐标代入,可得,即,为所求矢量线方程。求矢量场的矢量线方程。解根据矢量线的定义,可得解微分方程,可得,为所求矢量线方程。设,求:1)在点处沿矢量方向的方向导数,2)在点处沿矢量方向的方向导数。解的方向余弦为,,;又有,,据方向导数的定义,可得求标量场在点处沿其矢径方向的方向导数。解的方向余弦为,,;又有,,据方向导数的定义,可得设有标量场,求在点处沿该点至方向的方向导数。在点沿什么方向的方向导数达到最大值?其值是多少?解点至点的方向余弦为,,;又有,,据方向导数的定义,可得当方向余弦均为1时,方向导数达到最大值,即沿方向导数达最大值,求下列标量场的1);2);3);4);5)解据,可得求标量场在点处的梯度。解,则所求梯度为求标量场具有最大方向导数的点及方向,所求的点满足。(提示:最大的方向导数就是在点处的梯度,模最大,且满足,即求条件极值。)解,,将代入,可得,即,当、时,有,即点和为满足条件的点,又,,即最大方向导数的方向分别为设为正整数,1)求2)证明是常矢量)解1)证明设,则,因此,可得,证毕。设S为上半球面其法向单位矢量与轴的夹角为锐角,求矢量场沿所指的方向穿过S的通量。(提示:注意与同向)解将用球坐标表示,则在面上有,因此,可得求均匀矢量场通过半径为的半球面的通量。(如图1-1所示)解设半球面的方程为则矢量通过面的通量等于矢量通过面在的平面上的投影的通量,因此,计算曲面积分,其中是球心在原点,半径为a的球面外侧。解设,根据散度定理,可得求矢量场从内穿出所给闭曲面的通量:1),为球面2),为椭球面解1)根据散度定理,可得求下列空间矢量场的散度:1)2)解1)求在给定点处的值:1)在M(,,-)处;2),在M(,,)处;3)在M(,,)处。解1),则,则,则求标量场的梯度场的散度。解已知液体的流速场,问点M(,,)是否为源点?解,由于,所以是源点。已知点电荷分别位于两点处,求从闭曲面S内穿出的电场强度通量,,其中为:1)不包含两点的任一闭曲面;2)仅包含点的任一闭曲面;3)同时包含两点任一闭曲面。解据高斯通量定理,可得求矢量场(c为常数)沿下列曲线的环量1)圆周(旋转方向与轴成右手关系)2)圆周(旋转方向与轴成右手关系)解设圆周包围的曲面为,则,据斯托克斯定理,可得1)求矢量场在点M(,,)处的旋度以及在这点沿方向的环量面密度。解矢量场在点M(,,)处的旋度为沿方向的环量面密度为设矢量场,求该矢量场沿椭圆周C:与轴成右手关系方向的环量。解据斯托克斯定理,可得求题1-16中各矢量场的旋度。解,分别可得1)试证明矢量恒等式和。证明1)对于标量函数,有2)对于矢量函数,有第二章静电场(注意:以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间,按真空考虑)在边长为的正方形四角顶点上放置电荷量为的点电荷,在正方形几何中心处放置电荷量为的点电荷。问为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。解如图建立坐标系,可得据题设条件,令,解得有一长为,电荷线密度为的直线电荷。1)求直线延长线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位;2)求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为处的电场强度和电位。解1)如图(a)建立坐标系,题设线电荷位于轴上~之间,则处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为,由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为2)如图(b)建立坐标系,题设线电荷位于轴上~之间,则处的电荷微元在点处产生的电场强度和电位分别为,式中,,,,分别代入上两式,并考虑对称性,可知电场强度仅为方向,因此可得所求的电场强度和电位分别为半径为的圆盘,均匀带电,电荷面密度为。求圆盘轴线上到圆心距离为的场点的电位和电场强度。解根据电荷分布的对称性,采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心,轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为。在带电圆盘上取一个电荷元,源点坐标为。由电荷元产生的电位计算P点电位时,场点坐标不变,源点坐标中是变量。整个圆盘形面电荷产生的电位为根据电荷分布的对称性,整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有方向的分量2-4在空间,下列矢量函数中哪些可能是电场强度,哪些不是?回答并说明理由。1)2)3)4)(球坐标系)5)(圆柱坐标系)解对于给定各矢量表达式求旋度,可得1)2)3)4)5)据,可知式3)和式5)不可能是电场强度表达式,而其余各式可能是电场强度表达式。2-5有两相距为的平行无限大平面电荷,电荷面密度分别为和。求两