第一章 矢量分析与场论基础.doc

第一章 矢量分析与场论基础.doc第一章矢量分析与场论基础内容提要1)正交曲线坐标系:设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:),,(11zyxqq?),,(22zyxqq?),,(33zyxqq?在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为iiidqhdl?iiiidqhqdl??kjkjikjidqdqhhqdldlds????kjikjikjidqdqdqhhhdldldldv????式中i、j、k代表循环量1、2、3,kjiqqq?????,1??????kjiqqq,222?????????????????????????????????iiiiqzqyqxh称拉梅系数。三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:????????????????????????????????zyxzeeeeee???1000cossin0sincos?????????柱坐标与直角坐标???????????????????????????????zeeeeee???010sin0coscos0sin????????????球坐标与柱坐标?????????????????????????????????zyxeeeeee???0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin??????????????????球坐标与直角坐标2)矢量及其运算:直角坐标中算符?的定义:zyxezeyex?????????????一个标量函数u的梯度为:zyxezueyuexuu?????????????梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率,它指向u增大的方向。一个矢量F?穿过一个曲面S的通量?为???sdsF??对一个闭合曲面而言,ds向外为正。直角坐标系中F?的散度zFyFxFFzyx????????????表示在这一点上每单位体积向外发散的F?的通量。散度定理:??????VSdsFdvF??其中v是由s所包围的体积。斯托克斯定理:???????LsdlFdsF??)(其中s是由l所包围的面积。直角坐标系中F?的旋度zyxzyxFFFzyxeeeF?????????????拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中:2222222zuyuxuuu??????????????一个矢量的拉普拉辛定义为:zzyyxxeFeFeFF???2222????????其它坐标也可写成:FFFx????????????)(2柱坐标系中zezer???????zedzeededrd???????????dzdddv????zezueueuu??1????????????????zFFFFFz???????????????????1?zzFFFzeeeF?????????????????????1?2222222211zuuuuu??????????????????球坐标系中rerr????????edrerdedrdrr?sin????????ddrdrdvsin2??????eureureruur?sin1?1???????????)(sin1)(sinsin1)(122??????????????????FrFrFrrrFr??????????FrrFFrrerereFrrsin?sin?sin?2??????????22222222sin1)(sinsin1)(1????????????????????ururrurrru3)亥姆霍兹定理:矢量场F?可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和leFFF?????其中lFF???????)0(???eF?eFF???????)0(???lF?因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4)?函数定义:??????0)'(rr??)'()'(rrrr????????????)'(1)'(0)'(内在外在vrvrdvrrv??性质a)偶函数:)()(xx????b)取样性:??????)()()(afdxaxxf?有机会用到的表达式:'141)'(2rrrr?????????1-:)4?3?2?()6?2?9?(zyxzyxeeeeeeBA?????????=18+6-24=0说明BA??与相互垂直1--:0?????zzyyxxBABABABA??说明BA??与相互垂直1-:当坐标变量沿坐标轴由iu增至iiduu?时,相应的线元矢量idl为:)()(iiiiuduudl???????=iiduu????=iiiduuu?????其中弧长iiiiduudldl??????其中??????31?????jyxxxxxxx??jjijixuxu?31?????????231???????????????jiiuxu??令231?????????????jijuxh则iduhdl?1-:(1)据?算子的微分性质,