无约束最优化问题的最优性条.ppt

第三章 最优性条件
Optimality Conditions
所谓最优性条件，是指最优化问题的最优解所要满足的
必要条件或充分条件，这些条件对于最优化算法的建立
和最优化理论的推整都是至关重要的.
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无约束最优化问题的最优性条件
等式约束最优化问题的最优性条件
不等式约束最优化问题的最优性条件
一般约束最优化问题的最优性条件
第三章 最优性条件
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无约束最优化问题的最优性条件
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若n=1,则f(x)为一元函数.
(1)
若
为
的局部极小点，
则
(3)
若
则
为
的严格局部极小点；
若
(2)
为
的局部极小点，
则：
无约束最优化问题的最优性条件
回顾：一元函数的最优性条件
必要条件
充分条件
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一阶必要条件

若
为
的局部极小点，
且在
内
一阶连续可微，
则
注:
(1)
仅仅是必要条件，而非充分条件．
(2)
满足
的点称为驻点．
驻点分为：极小点，极大点，鞍点．
无约束最优化问题的最优性条件
Stationary Point
Saddle Point
平稳点
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一阶必要条件
无约束最优化问题的最优性条件
：函数曲面在x*处的切平面是水平的.
所谓x*是鞍点,从直观上说曲面在x*处沿某方向“向上弯曲”，而沿另一方向“向下弯曲”.
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若
为
的局部极小点，
且在
内
二阶连续可微，
则
半正定．
无约束最优化问题的最优性条件
二阶必要条件
注: (1) 刻画了f(x)在x处切平面的法向.
(2) 刻画了曲面f(x) 的弯曲方向.
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无约束最优化问题的最优性条件
二阶必要条件
(3) .
例
在x0=(0,0)T处，有
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若在
内
二阶连续可微，
且
正定,
则
为严格局部
极小点．
注:
(1)如果
负定,
则
为严格局部极大点．
二阶充分条件
无约束最优化问题的最优性条件
(2) .
分析: x0=(0,0)T为其严格局部极小点. 但有
例
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设
在
上是凸函数且在x*处一阶
连续可微，
则
为
的全局极小点的充要条件
是
无约束最优化问题的最优性条件
凸优化问题-----一阶充要条件

设
在
上是严格凸函数，在x*处
则
为
的惟一全局极小点.
一阶连续可微，
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