求轨迹方程的常用方法例题及变式.docx

求轨迹方程的常用方法:
题型一直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件,将几何条件｛M | P(M )｝直接翻
译成x, y的形式. f(x, y) 0，然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯
粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件
而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。
例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM和AN，分别交x,y轴于点M , N，求线段
MN中点P的轨迹方程。
解：设P点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N在轴上得M (0,2y)，
N(2x,0)(x,y R)
AM AN
kAM kAN
13 0 (x 1)
P(1,|)它也满足方程4x 6y 13
0 3 2y 3 J 、
-1 x1，化简得 4x6y
2x 2 0 2
当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN的中点
所以中点P的轨迹方程为4x 6y 13
Oo
变式1
N (1,0)的距离的2倍。
已知动点M (x, y)到直线I : x 4的距离是它到点
(D求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点。若A是PB的中点，求直线m的斜
题型二定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定
义法求轨迹方程。
22
例2动圆M过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：根据题意|| MC| |MP || 4，说明点M到定点C、P的距离之差的绝对值为定值，
故点M的轨迹是双曲线。
2a 4
a 2, c 4
b c2 a2 12
22
故动圆圆心M的轨迹方程为◊ 1
4 12
变式2
在A ABC中，BC24, AC, AB上的两条中线长度之和为39,求A ABC的重心的轨迹方程.
解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标
2
系，如图1, M为重心，则有|BM| |CM 39 26 .
3
…M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，
其中 c 12, a 13 . • b a2 c2 5 .
22
•所求△ ABC的重心的轨迹方程为・ » 1(y 0)
169 25
题型三相关点法
此法的特点是动点M (x, y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x'，y')的坐标，可先用x, y来
表示x',y'，再代入曲线C的方程f(x,y) 0,即得点M的轨迹方程。
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例3如图，从双曲线x y 1上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹 方程
分析：从题意看动点P的相关点是Q , Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。
解：设动点P的坐标为(x, y)，点Q的坐标为(xAyj，则点N的坐标为(2x x「2y y。
N在直线xy2上，
2x xi 2y yi 2 …①
又P Q垂直于直线xy 2 ,
y_吐'，即xyyiXi 0…②
X X-i
由①②解得
Xi
V'
3 1彳
Y -V 1
2 2
3 彳
Y