几何体中截面问题.doc

几何体中截面问题.doc几何体中的截面问题
几何体中的截面问题
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几何体中的截面问题
几何体中的的截面问题
1．定义及相关要素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几
何体表面的交集 (交线 )叫做截线．此平面与几何体的棱的交集 (交点 ) 叫做截点．
2．作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点， 有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．
题型一、截面的形状
1．P、Q、R 三点分别在直四棱柱 AC1 的棱 BB1 、CC1 和 DD1 上，试画出过 P、Q、R三点的截面．
1 解答： (1)连接 QP、 QR 并延长，分别交 CB 、 CD 的延长线于 E、F.
(2)连接 EF 交 AB 于Ｔ，交 AD 于 S．
(3)连接 RS、 TP。则多边形 PQRST 即为所求截面。
2．已知 P、Q、 R 分别是四棱柱 ABCD― A1B1C1D1 的棱 CD 、 DD1 和 AA1 上的点，且 QR 与 AD 不平行，求作过这三点的截面．
2 解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。
(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M 。
(3)连接 QP、 RM 。则四边形 PQRM 即为所求。
注： ① 若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面
的截线。
②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。
③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。
3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是
3答案： D
解析：考虑过球心的平面在转动过中， 平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的
内接正方形，故选 D 。
题型二、截面面积、长度等计算
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4．过正方体的对角线的截面面积为 S，Smax 和 Smin 分别为 S 的最大值和最小值，则的值
为 ( )
A． B． C． D．
4答案： C
解析： 设 M 、N 分别为 AA1 、CC1 的中点 .易证截面 BMD1N 是边长为的菱形 (正方体棱长设
为 1),其面积 S(min)=. 而截面 BB1D1D 是矩形 ,其面积 S(max)= ．
如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1D1 的内切球， 则平面 ACD1 截球 O 的
截面面积为 ．
答案：
解析： 平面 ACD1 是边长为的正三角形， 且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形
ACD1 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得， △ ACD1
内切圆的半径是 ×tan30=°，则所求的截面