几何体中截面问题.doc

几何体中的截面问题
几何体中的截面问题
几何体中的截面问题
几何体中的的截面问题
1．定义及相关要素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几
何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的三个面的切点恰为三角形
ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1
内切圆的半径是×tan30=°，则所求的截面圆的面积是π××=．
6．已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，
则两圆的圆心距等于（）
A．B．C．D．
6答案：C
解析：与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，
则四边形为矩形，
所以
7．已知正四棱锥 P—ABCD的棱长都等于 ,侧棱PB、PD的中点分别为 M、N，则截面AMN
与底面ABCD所成二面角大小的正切值为．
7答案：
解析：过A在平面ABCD内作直线，连接 AC,BD交于O，连接PO，MN．记PO、MN交
于O‘．因为PB、PD的中点分别为M、N，所以MN//BD，因为，所以，，所以平面AMN，平面AMN∩平面ABCD．易知即为面AMN与底面ABCD所成二面角的平面角．
8．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该
正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是 _____
①当时，S为四边形
②当时，S为等腰梯形
③当时，S与的交点 R满足
④当时，S为六边形
⑤当时，S的面积为
8答案：①②③⑤
解析：.
对①，,则所以截面S为四边形，且 .
对②,，.
对③,所以为真.
几何体中的截面问题
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几何体中的截面问题
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几何体中的截面问题
对④,.截面S与线段相交，所以四边形 .
对⑤,.对角线长度分别为所以为真.
9．如图，为正方体。任作平面与对角线
垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到
的截面多边形的面积为S，（）
A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值D．S与均不为定值
9答案:B
解析:将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、 下底面的几何体V，V
的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与 V的底面上的一条边平
行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形，而多边形W的周界
展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。
题型三、截面图形的计数
10．设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥 ,使得截面四边形是平行四边
形,则这样的平面( )

10答案：D
解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平
行的平面 α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．
11．过正四面体