几何体中截面问题.doc

几何体中截面问题
几何体中截面问题
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几何体中截面问题
几何体中的的截面问题
1．定义及有关要素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几
何体表面的交分别为 所以为真.
9．如图，为正方体。任作平面与对角线
垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样获得
的截面多边形的面积为 S，（ ）
A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值 D．S与均不为定值
9答案:B
解析:将正方体切去两个正三棱锥与后， 获得一个以平行平面与为上、 下底面的几何体 V，V
的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W的每一条边分别与 V的底面上的一条边平
行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，获得一个平行四边形，而多边形 W的周界
展开后便成为一条与平行的线段（如图中） ，显然，故为定值。
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。
题型三、截面图形的计数
10．设四棱锥 的底面不是平行四边形 ,用平面去截此四棱锥 ,使得截面四边形是平行四边
形,则这样的平面( )
A. 不存在
10答案：D
解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线m、n确定了平面 β，作与 β平
行的平面 α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面 α有无数多个．
11．过正四面体的极点做一个形状为等腰三角形的截面， 且使截面与底面成角， 问这样的截
面可作几个？
11答案：6个．
解析：能够证明的棱、侧面与底面成角均小于 75度，这样过极点与底面成 75度角，且平行
与底面一条边的 截面也就是切合题意的截面，有两个。三条边就是 6个。
题型四、截面图形的性质
12．如图4，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：
① 水的部分始终呈棱柱状；
② 水面EFGH的面积不改变；
③ 棱A1D1始终与水面 EFGH平行；
④ 当容器倾斜到如图 4（2）时，BE·BF是定值；
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其中正确的命题序号是 ______________
答案：①③④
解析 当长方体容器绕 BC边转动时，盛水部分的几何体始终知足棱柱定义，故①正确；在
转动过程中 EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面 EFGH的面积在改变，故②错
误；在转动过程中，始终有 BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到
水部分呈直三棱柱时如图 5（2），因为是定值，又 BC是定值，所以