数学竞赛考试范围.docx

该【数学竞赛考试范围 】是由【夏天教育】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【数学竞赛考试范围 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
(一)中国大学生数学比赛(数学专业类)比赛内容为大学本科数学专业基础课的教
学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,分析几何占15%,详尽内容以下:
Ⅰ、数学分析部分
一、会集与函数
实数集、有理数与无理数的旺盛性,实数集的界与确界、确界存在性定理、
闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.
上的距离、邻域、聚点、界点、界限、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述看法和定理在上的推行.
函数、照射、变换看法及其几何意义,隐函数看法,反函数与逆变换,反函
数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.
二、极限与连续
数列极限、收敛数列的基本性质(极限独一性、有界性、保号性、不等式性
质).
数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单一有界原理、数列收敛与其子列
收敛的关系),极限及其应用.
一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(独一性、局部有界性、保号性、
不等式性质、迫敛性),归纳原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计
算一元函数极限的各种方法,无量小量与无量大量、阶的比较,记号

O与

o的意义,
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
多元函数重极限与累次极限看法、

基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
、

一致连续性、连续函数的局部性质

(局部有界性、

保号性),
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性)

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
三、一元函数微分学
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何
意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.
:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).
一元微分学的应用:函数单一性的鉴别、极值、最大值和最小值、凸函数及其
应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的谈论、洛必达(L'Hospital)法规、
近似计算.
四、多元函数微分学
偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方导游数与梯度,高阶偏导数,混杂偏
导数与序次没关性,二元函数中值定理与Taylor公式.
隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.
几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.
五、一元函数积分学
原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部
积分法)、有理函数积分:型,型.
、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.
定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中
值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二
中值定理.
无量区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收
敛性鉴别法(比较原则、柯西鉴别法)、Abel鉴别法、Dirichlet鉴别法、无界函数
广义积分看法及其收敛性鉴别法.
微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与
弧微分、旋转体体积),其他应用.
六、多元函数积分学
二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).
2.
三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换)
.
3.
重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等)
.
4.
含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算序次的可交换性
.含参量
广义积分的一致收敛性及其鉴别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运
算序次的可交换性.
5.
第一型曲线积分、曲面积分的看法、基本性质、计算
.
6.
第二型曲线积分看法、性质、计算;
Green公式,平面曲线积分与路径没关的
条件.
7.
曲面的侧、第二型曲面积分的看法、性质、计算,奥高公式、
Stoke公式,两
类线积分、两类面积分之间的关系.
七、无量级数
数项级数
级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;
正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式鉴别法、根式鉴别法以及它们的极限
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
形式;交织级数的

Leibniz

鉴别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、

Abel

鉴别
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
法、

Dirichlet

鉴别法

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围

数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
函数列与函数项级数的一致收敛性、

Cauchy

准则、一致收敛性鉴别法

(M-鉴别法、
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
Abel

鉴别法、

Dirichlet

鉴别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围

数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
幂级数看法、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项
可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数张开、
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
Taylor

级数、

Maclaurin

级数

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围

级数
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
三角级数、三角函数系的正交性、

2及

2周期函数的

Fourier

级数张开、

Beseel
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
不等式、

Riemanm-Lebesgue

定理、按段圆滑函数的

Fourier

级数的收敛性定理

.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
Ⅱ、高等代数部分
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
一、

多项式
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数域与一元多项式的看法
多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法
3.
互素、不能够约多项式、重因式与重根
.
4.
多项式函数、余数定理、多项式的根及性质
.
5.
代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解
.
6.
根源多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、
Eisenstein鉴别法、
有理数域上多项式的有理根.
、韦达(Vieta)定理.
二、行列式
n级行列式的定义.
n级行列式的性质.
行列式的计算.
行列式按一行(列)张开.
拉普拉斯(Laplace)张开定理.
克拉默(Cramer)法规.
三、线性方程组
1.
高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解
.

维向量的运算与向量组.
3.
向量的线性组合、线性相关与线性没关、两个向量组的等价
.
4.
向量组的极大没关组、向量组的秩
.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
5.
矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系
.
6.
线性方程组有解鉴别定理、线性方程组解的结构
.
齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵
1.
矩阵的看法、矩阵的运算
(加法、数乘、乘法、转置等运算
)及其运算律.
2.
矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系
.
3.
矩阵的逆、陪伴矩阵、矩阵可逆的条件
.
4.
分块矩阵及其运算与性质.
5.
初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形
.
6.
分块初等矩阵、分块初等变换.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
五、双线性函数与二次型
双线性函数、对偶空间
二次型及其矩阵表示.
3.
二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法
.
4.
复数域和实数域上二次型的规范形的独一性、惯性定理
.
正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间
.
维数,基与坐标.
基变换与坐标变换.
线性子空间.
5.
子空间的交与和、维数公式、子空间的直和
.
七、线性变换
1.
线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵
.
2.
特点值与特点向量、可对角化的线性变换
.
3.
相像矩阵、相像不变量、哈密尔顿
-凯莱定理.
4.
线性变换的值域与核、不变子空间
.
八、若当标准形
矩阵.
、不变因子、初等因子、矩阵相像的条件.
若当标准形.
九、欧氏空间
1.
内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、胸怀矩阵
.
2.
标准正交基、正交矩阵、施密特
(Schmidt)正交化方法.
欧氏空间的同构.
正交变换、子空间的正交补.
、实对称矩阵的标准形.
、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.
酉空间.
Ⅲ、分析几何部分
一、向量与坐标
1.
向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算
.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
2.
坐标系的看法、向量与点的坐标及向量的代数运算
.
3.
向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角
.
向量的数量积、向量积和混杂积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及
应用.
、三角问题.
二、轨迹与方程
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
1.
曲面方程的定义:一般方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化
)及其关系.
2.
空间曲线方程的一般形式和参数方程形式及其关系
.
3.
建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程
.
4.
球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程
.
三、平面与空间直线
1.
平面方程、直线方程的各种形式,方程中各相关字母的意义
.
2.
从决定平面和直线的几何条件出发,采用适合方法建立平面、直线方程
.
依照平面和直线的方程,判断平面与平面、直线与直线、平面与直线间的地点
关系.
依照平面和直线的方程及点的坐标判断相关点、平面、直线之间的地点关系、
计算他们之间的距离与交角等;求两异面直线的公垂线方程.
四、二次曲面
、锥面、旋转曲面的定义,求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质,依照不一样样样条件建立二次曲面的标准方程.
单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方
法.
4.
依照给定直线族求出它表示的直纹面方程,求动直线和动曲线的轨迹问题
.
五、二次曲线的一般理论
1.
二次曲线的渐进方向、中心、渐近线
.
2.
二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点
.
3.
二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径
.
4.
二次曲线的主轴、主方向,特点方程、特点根
.
5.
化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的地点草图
.
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围
数学比赛考试范围