二次函数闭区间上的最值问题.doc

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布一、二次函数闭区间上的最值问题一元二次函数的区间最值问题,核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,( ) ( 0)f x ax bx c a? ???,求fx()在[ ]x m n?,上的最大值与最小值。分析:将fx()配方,得对称轴方程xba??2当a?0时,抛物线开口向上若??bamn2[],必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值;若??bamn2[],当a?0时,抛物线开口向上,此时函数在[]mn,上具有单调性,故在离对称轴xba??2较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值。当a?0时,如上,作图可得结论,对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:当a?0时m a x121( ) ( ) ( )2 2( )1( ) ( ) ( )2 2bf m m naf xbf n m na?? ???????? ????如图如图,,fxfnbanfbambanfmbam()()()()()()()min??????????????????,,,如图如图如图2222345当a?0时fxfnbanfbambanfmbam()()()()()()()max??????????????????,,,如图如图如图2222678min9101( ) ( )( )2 2( )1( ) ( )( )2 2bf m m naf xbf n m na?? ???????? ????如图如图,,,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。????242在区间??03,上的最大值是_________,最小值是_______。例1:解:函数yxxx????????224222()是定义在区间??03,上的二次函数,其对称轴方程是x?2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上,如图1所示。函数的最大值为f()22?,最小值为f()02??。?,求函数fxxx()???21的最值。例2:解:由已知232xx?,可得032??x,即函数fx()是定义在区间032,??????上的二次函数。将二次函数配方得fxx()?????????12342,其对称轴方程x??12,顶点坐标???????1234,,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032,??????内,如图2所示。函数fx()的最小值为f()01?,最大值为f32194???????。解后反思:已知二次函数fxaxbxc()???2(不妨设a?0),它的图象是顶点为????????baacba2442,、对称轴为xba??2、开口向上的抛物线。由数形结合可得在??mn,上fx()的最大值或最小值:(1)当????bamn2,时,fx()的最小值是fbaacbafx?????????2442,()的最大值是fmfn()()、中的较大者。(2)当????b