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Lebesgue测度
其次章 测度论

引言
实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼〔Riemann〕积分进展推广，而建立一种应用范围更广，运用起来更敏捷、便利的新的Ii，m*B?inf?Ii?m*A,i?1i?1i?1???A??Ii.
i?1?(i)(3)由外测度的定义知，对随意给定的正数?，存在覆盖Ai的开区间列Im使
???(i)?m*Ai??Imm?1?,i2i?1,2,?










明显
?(?Ii?1m?1??(i)m)??Aii?1??且??Ii?1m?1??(i)m??(i)m????(?I)??(m*Ai?i)??m*Ai??2i?1m?1i?1i?1??(i)m?? 所以 m*(?A)???Iii?1i?1m?1??m*Ai?? .
i?1〔4〕仅在R1上证明. 对随意??0，存在开区间列?In?，使A?B??In?1?n
且
?n?1?In?m*(A?B)??，
因为?(A,B)?d?0, 假设In?d,那么In保存;假设In?d,那么用分点将In分成有限个小的
开区间J1,J2,?Jk, 使Ji?d(i?1,2?k), 并且各分点再用k?1个长度小于d的开区
间L1,L2?Lk?1盖住, 使得
nL??/2，用上述得到的J1,?Jk及L1,?Lk?1代替?ii?1k?1In， 明显
?Ji??Li?In?i?1i?1kk?1?n, 2把改造后的开区间列记为km，那么A?B????In?1?n??km,
m?1? 65
?且 ?km??In??n?m*(A?B)?2?.
m?1n?1n?12???由于km?d,?km?中任何km不行能同时含有A,B中的点，所以把?km?分为两类，
?含有A中点的km作为一类记为kn，含有B中点的km作为一类记为kn，那么










??A??kn, B??kn
?????所以 mA?mB??kn'??kn\??km?m*(A?B)?2? ,
**m?1?再让?→0得
m*A?m*B?m*(A?B) , 证毕.
例1 设E为[0，1]中的全体有理数，那么m*E?0. 证明 因为E为可数集 记为 E?{r1,r2,...,rn,...}
????对随意ε>0，取In??rn?n?1,rn?n?1?,n?1,2,?
22??明显, E??In,所以0?m*E??In??n?1n?1????nn?12??,
让ε→0得 m*E?0，证毕.
思索题 假设E为Rn中的可数点集，那么m*E?0.
注 外测度为零的集称为零测集，故Rn中的可数点集为零测集. 例2 假设m*A?0，那么对随意E?Rn，总有m*(E?A)?m*E . 证明 由外测度的性质〔1〕、〔2〕得
m*E?m*(E?A)?m*E?m*A?m*E，
所以 m*(E?A)?m*E .
例3 〔1〕零测集的随意子集仍为零测集.
〔2〕至多可数个零测集的并集仍为零测集.
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由零测集的定义及外测度的性质易证，证明留给读者. 例4 对任何区间I?Rn，总有m*I?I.
证明 对随意??0，存在开区间I*，使I?I* 且 |I*|<|I|+? 由外测度的定义知 m*I?I*?I??，再让??0，得m*I?I. 下证 m*I?I.










对随意??0，作闭区间I0，使I0?I且|I|<|I0|+
???. 又由外测度的定义知对2上述I0及ε，存在开区间列?Ii? 使I0??Ii,且?|Ii|?m*I0?i?1i?1?2,由Borel有
k限覆盖定理,在{Ii}中存在有限多个