一维非稳态导热.doc

一块无限大平板(如图3所示),其一半厚度为L=,初始温度T0=1000℃,突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。平板的导热系数λ=℃,密度ρ=7800kg/m3,比热c=℃,平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃,求平板内各点的温度分布。,仅对平板一半区域进行计算即可。坐标x的原点选在平板中心线上,因而一半区域的非稳态导热的数学描述为:(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)该数学模型的解析解为:(3-5)其中,为方程的根,。表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不同时刻的温度值。表3    平板表面各不同时刻温度值。时间(S)**********温度(℃)           。若考虑时间坐标,则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图4),即:有时间坐标τ和空间坐标x两个变量。但要注意,时间坐标是单向的,就是说,前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响,但后一时刻的状态却影响不到前一时刻,图4示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散,时间从τ=0开始,经过一个个时层增加到K时层和K+1时层。,在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子:(3-6)(3-7)将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为:(3-9)(3-8)观察式(3-8)和(3-9),这两个式子的右端差分式完全相同,但在两个式子中却有不同含义。对式(3-8),右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。而在式(3-9)中,右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。将式(3-8)和(3-9)分别代入式(3-6)和(3-7),并将式(3-6)和(3-7)右端关于x的二阶导数用相应的差分代替,则可得到下列显式和隐式两种不同的差分格式:显式:                (3-10)(K=0,1,2,………,i=2,3,…,N-1)全隐式:              (3-11)(K=0,1,2,……………i=2,3,…,N-1)以上两式中的。从式(3-10)可见,其右端只涉及K时刻的温度,当从K=0(即τ=0时刻)开始计算时,在K=0时等号右端都是已知值,因而直接可计算出K=1时刻各点的温度。由K=1时刻的各点的温度值,又可以直接利用式(3-10)计算K=2时刻的各点的温度,这样一个时层一个时层的往下推,各时层的温度都能用式(3-10)直接计算出来,不要求解代数方程组。而对于式(3-11)等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度,因而必须通过求解代数方程组才能求得这些节点的温度值。3.