一维非稳态导热.doc

一块无限大平板( 如图 3 所示), 其一半厚度为 L= , 初始温度 T 0 =1000 ℃, 突然将其插入温度 T ∞=20 ℃的流体介质中。平板的导热系数λ= ℃,密度ρ=7800kg/m 3 ,比热 c= 310 ? J/kg ℃, 平板与介质的对流换热系数为 h=233W/m 2.℃, 求平板内各点的温度分布。 3. 1 数学描述由于平板换热关于中心线是对称的, 仅对平板一半区域进行计算即可。坐标 x 的原点选在平板中心线上,因而一半区域的非稳态导热的数学描述为: ????????????????????TThx TLx x Tx TT x Ta T???, 0,0 ,0 0 2 2 该数学模型的解析解为:?? cos cos sin sin 2 1 0 Fn nnnn neL xTTTT ??????????????????????( 3-5 ) 其中 2 0L aF ??,n?为方程 iB ctg /???的根, ? hL B i?。表3 给出了在平板表面(x=L) 处由式(3-5) 计算得到的不同时刻的温度值。表3 平板表面各不同时刻温度值。时间(S) 123456789 10 温度(℃) 数值离散 计算区域的离散(3-1) (3-2) (3-3) (3-4) 一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。若考虑时间坐标, 则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题( 见图 4) ,即:有时间坐标Τ和空间坐标 X 两个变量。但要注意,时间坐标是单向的, 就是说, 前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响, 但后一时刻的状态却影响不到前一时刻,图4 示出了以 X和Τ为坐标的计算区域的离散, 时间从Τ=0 开始, 经过一个个时层增加到 K 时层和 K+1 时层。 微分方程的离散对于 i 节点,在 K和 K+1 时刻可将微分方程(3-1) 写成下面式子: 12 2 1 2 2???????????????????????????????????????? Ki Ki Ki Kix Ta T x Ta T??将式(3-6)~(3-7) 的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为: ?????????????????????????????Ki Ki Ki Ki Ki KiTTT TTT 1 1 1 观察式(3-8) 和(3-9) ,这两个式子的右端差分式完全相同,但在两个式子中却有不同含义。对式(3-8) ,右端项相对 i 点在 K 时刻的导数 KiT?????????是向前差分。而在式(3-9) 中,右端项是 I 点在 K+1 时刻的导数 1????????? KiT?的向后差分。将式(3-8) 和(3-9) 分别代入式(3-6) 和(3-7) ,并将式(3-6) 和(3-7) 右端关于 x 的二阶导数用相应的差分代替, 则可得到下列显式和隐式两种不同的差分格式: 显式:Ki Ki Ki Ki fTTf fTT 11 1)21( ???????(3-10) (K=0,1,2, ………, i=2,3, …,N-1) (3-6) (3-7) (3-8) (3-