Chapter6-4(相对论理论的四维形式).ppt

§ 相对论理论的四维形式
在相对论中时间和空间不可分割,当参考系改变时,时空坐标互相变换,三维空间和一维时间构成一个统一体——四维时空。
知识点:
(1)正交变换,物理量的分类与协变性
(2)lorentz变换四维形式(变换矩阵)
(3)四维协变量:四维速度、四维波矢量、
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(1)二维平面上的坐标系转动。
设坐标系´相对于坐标系转了一个角。设平面上一点的坐标在系为x,y; 在´系x´,y´为。新旧坐标之间有变换关系
x´=xcos+ysin ,
y´=-xsin+ycos.
OP2=x2+y2= x´2+ y´2=不变量
1. 四维空间的正交变换
满足此式的二维平面上的线性变换称为正交变换。坐标系转动属于正交变换。
其实,任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式。
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(2)三维坐标转动
设系的直角坐标为(x1,x2,x3), ´系的直角坐标为(x´1, x´2, x´3) 。三维坐标线性变换一般具有形式
坐标系转动时距离保持不变, 应有
满足此式的线性变换称为正交变换。空间转动属于正交变换, 式中的系数aij依赖于转动轴和转动角。
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坐标变换式
在一般情形中, 当公式中出现重复下标时(如上式右边的j), 往往都要对该指标求和。这是现代物理中通用的约定,即爱因斯坦求和约定。
变换式可简写为:
正交条件是:
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正交变换条件:
引入符号:
反变换式
由
由
转置矩阵
正交条件为
变换系数矩阵形式
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三维坐标转动是满足距离不变的线性变换, 即
2、四维坐标系转动
=不变量
的线性变换
洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换
形式上引入第四维虚数坐标
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则间隔不变式可写为
=不变量
以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3, 希腊字母代表1-4, 间隔不变式可写为
=不变量
洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换
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沿x 轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为
逆变换矩阵
变换式满足正交条件
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3. 物理量按空间变换性质的分类
在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐标系中某标量用u表示,在转动后的坐标系´中用u´表示。由标量不变性有
(1) 标量
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在空间中有一定的取向性,用三个分量表示的,当空间坐标作转动变换时,三个分量按同一方式变化的物理量。例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。以代表矢量,在坐标系中的分量为i, 在转动后的´系中的分量为´i 。与坐标变换式对应, 有矢量变换关系
(2) 矢量
有些微分算符也具有矢量性质
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