相对论理论的四维形式.doc

相对论理论的四维形式.doc:..4相对论理论的U!维形式时空本质上是四维的:3维空间+1维时间。洛伦兹变换是一种线性变换。它体现了四维时空电核的变换关系。但是这种变换为什么变换?变换特征是什么?物理量在坐标变换下怎样变换?描写物理规律的方程怎样变换?将变换写为矩阵形式:(COS0sin0、/、X(、a\\a\2/、y丿cos<9丿卫21 °22丿O'丿d|2。22丿它与兀2+),2=兀,2+),,2等价E 內+如兀2+绚3兀3fx2=a2]x}+a^x2+a23x3of兀3=°3】兀1+°32兀2+°33兀3州fX2f=a(、X2a-X3\/kX3>a2\°31°12d]3a22a32。23°33丿为变换矩阵。勺只与转动角度e有关。'cos。-sin。、'cos。sin。、<10>(sin&cos。丿,-sin〃cos〃),01,aa==aa=I<^217 2+a2\=12,2[+d”=1"11^12+。21。22=0变换矩阵打其转置矩阵乘积为单位矩阵的变换称为止交变换,变换屮的不变量为空间距离。aa=aa=l为正交条件与/+于=严+才2等价。2、三维空间处标转动变换。(-・般形式)源靠近即光1+7、 w()(w>w())即光1-7—W0(kV<PV0)1+-CA c兀△ 0=—即光源垂直于观(W<w0)者运动:这一结果与经典理论结论完全不同,称为横向多普勒效应。它己被实验证实,是狭义相对论正确的有力证据之一。。检验描述物理规律方程是否协变,最一般的方法是将该方程化为四维形式,而物理量转化为四维协变量,如果能够实现这种转化,则方程一定是协变的。无口山指标(注光自山指标的量不标量 u'=u一定都是标量)冇一个自由指标张量冇两个自山指标z2 ,2 fl 在变换过程中不变量为兀]+兀2十兀3=兀1 +X2 +兀30P不变,即空间距离不变), 3 3 3 /2变换式可简写为 J"=工仇ijXj (i=1,2,3),不变量工"=工兀j=\ /=| /=1若此变换为正交变换,可由不变屋导出正交条件。<b)用爱因斯坦惯例,变换式可简化为兀=6jXj (1)去掉取和号,i为自由指标,j为取和指标(垂复下标)凡是有重复下标的即要取和,取和可以随意改换。x:=aikxk=aiexe不变量的式可表示为 x?i=xi (2)(c)将(1)代入(2)xjxi=a^jXj*aikxk (3)3/=!3(3 y3 \ 333/=ZHaiJxJDikXk二工工工輛・a订內引入§记号\^=1 73(注:工形兀>13 3广工工)7=1k=l又:=XjXj=SjkXjXk (4)比较(3)和(4)nJ"得ajjaik=5jk(5)写成矩阵即为 aa=aa=I (6)(5)与(6)等价为正交条件。可见三维空间转动变换肯定为正交变换。(d)关于反变换式。xf=ajlxi (也可表示为Xj=ajXj)(1)式两边同乘并对T取和,利用(5)式=cidjXj=8ejxj=6jXj=坷正变换写成矩阵反变换X:x=ax〜, —19=ax=ax二、物理量按空间变换性质分类物理量分类有许多方法,这里仅讨论按空间转动将物理竝分类。1、 标量。空间转动变换中不变的量称为标量。u=u例如:质量,电荷,空间距离。2、 矢量。空间转动变换中按v/=aijvj(i=1,2,3)方式变换的量称为矢量。(与坐标形式相同),记为0例如:速度,如速度,力,电场强度等。以及▽算符。3、 二阶张最。在空间转动变换下按T;=們几 (k,1=1-3)方式变换的具有9个分量的物理量。记为7。例如:应力张屋,电器极短张量等。4、 使用自由指标判断。标量:无自山指标,乂称为零阶张量。矢量:一个口由指标,又称为一阶张量。张量:两个自由指标,又称为二阶张量。例如:两矢量点积v-w=匕叱无自由指标为标量;张量与矢量点积7v=TjjVj,一个自由指标为矢量。ffvi叱=a/jgw女=8jkv^k=vjwj=片叫ffTij =%Qj几a加%=aik5eJklvm=aikTklvt三、洛伦兹变换的四维形式下血讨论四维变换以及在先该变换下物理的分类及变换形式。1、四维空间的转动变换。(三维情况的推广)转动屮的不变量:XpX』=xvxv(//,v=1--4)fl91 91 fl •一 .二工M)V=12222一%!+兀2+兀3+兀4=兀]+兀2+兀3+兀4,豉乙兀“Xy以后见到数小写字母i,j,k,/,m,n代表1—3,而希腊小写字母v,2,6sy代表1一4o变换表示式:Xp=apvxv 兀“=工。胪兀,“=1一一4\ 心0=(%)=;•••:&41…°44丿正交条件为a皿=》刃或加=aa=I2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换