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文档介绍
线性代数第21讲
1
1990年考研题(8分)求一个正交变换,化二次型
的标准形.
解 f的矩阵为
2
3
得A的全部特征值为l1=l2=0, l3=9.
4
对于l1=l2=0, 求方程组(0I-A)x=o的基础解系, 由
x1-2x2+2x3=0, x2,x3为自由变元,
5
x1-2x2+2x3=0, x2,x3为自由变元, x1=2x2-2x3, 令x2=1,x3=0, 得x1=2, 因此x1=(2,1,0), 令x2=0,x3=1, 得x1=-2, 因此x2=(-2,0,1), x1,x2是对应于l1=l2=0的两个线性无关的特征向量,但是它们并不正交, 因此要正交化, 根据施密特正交化公式, 令y1=x1=(2,1,0),
6
其实, 为了暂避免分数, 不妨令y2=(-2,4,5)T 再将y1=(2,1,0),y2=(-2,4,5)单位化,
令
7
对于l3=9, 求方程组(9I-A)x=o的基础解系
8
最后的方程组是
9
x3为自由变元, 令x3=1, 则x1=1/2, x2=-1, 因此(1/2,-1,1)T是对应于l=9的特征向量, 为了暂时避免分数, 不妨令y3=(1,-2,2)T, 作为基础解系, 再对y3进行单位化,
令
10
1
1990年考研题(8分)求一个正交变换,化二次型
的标准形.
解 f的矩阵为
2
3
得A的全部特征值为l1=l2=0, l3=9.
4
对于l1=l2=0, 求方程组(0I-A)x=o的基础解系, 由
x1-2x2+2x3=0, x2,x3为自由变元,
5
x1-2x2+2x3=0, x2,x3为自由变元, x1=2x2-2x3, 令x2=1,x3=0, 得x1=2, 因此x1=(2,1,0), 令x2=0,x3=1, 得x1=-2, 因此x2=(-2,0,1), x1,x2是对应于l1=l2=0的两个线性无关的特征向量,但是它们并不正交, 因此要正交化, 根据施密特正交化公式, 令y1=x1=(2,1,0),
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其实, 为了暂避免分数, 不妨令y2=(-2,4,5)T 再将y1=(2,1,0),y2=(-2,4,5)单位化,
令
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对于l3=9, 求方程组(9I-A)x=o的基础解系
8
最后的方程组是
9
x3为自由变元, 令x3=1, 则x1=1/2, x2=-1, 因此(1/2,-1,1)T是对应于l=9的特征向量, 为了暂时避免分数, 不妨令y3=(1,-2,2)T, 作为基础解系, 再对y3进行单位化,
令
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