57.一文“扫荡”外接球问题.docx

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外接球问题是全国卷的超高频考点，它对考生的直观想象素养要求很高，是我们复习中必须下大力气备考的考点.
★1．球的截面
若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆：
（1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆；
（2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则.
（3）外接圆半径的计算：常用
例1．（2020全国2卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
解析：设球的半径为,则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，
球心到平面的距离. 故选：.
注：球的截面性质是我们处理外接球问题的根本思路!
例2．（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙


的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
解析：设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，，为等边三角形，由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面,
，
：.
球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径.
★2．正方体（长方体）与补形
（1）正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
（2）正四面体：由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，：补成正方体进行，假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则，如图1所示.
（3）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图2所示
例3．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，


则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A
例4．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
解：如下图所示，
将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：．
★3．墙角模型.
三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，如下图．


例5．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示，
又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，
即球的直径，其中是球的半径；:B.
★4．直棱柱（圆柱）
：
棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.


正棱柱：，且底面是正多边形的棱柱.
：
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。
：
设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.
例6．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，
由题，得，所以，外接球表面积
．故答案为：
例7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，


，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而平面，因此平面，在等腰中，，则，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，：A
★5．等腰四面体.（圆锥）
四面体中中，.
性质1：顶点在底面的投影为底面外接圆圆心.
证明：如图，由于，故根据勾股定理：
，即顶点在底面的投影恰好是底面的外心.
既然如此，根据外接球的性质，三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或.
性质2：



解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（棱锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
例8．若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（    ）
A． B． C． D．3
解析：①若球心在正三棱锥内部，如图所示：
其中点在底面的投影为点，所以高为，延长交于点，因为三棱锥为正三棱锥，所以为正三角形，点为的重心，为的高，
所以，，设外接球的半径为，则，在中有：，即，解得：；
②若球心在正三棱锥外部，如图所示：


由①知，当球心在的延长线上时，在中有：，即，解得：. 故选：D.
例9．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
解析：∵ 球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，，所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．故选：C．
★6．二面角模型
如下图，所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．


（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
如图，设、为面与面的外接圆圆心，其半径分别为、，两相交面的二面角记为，公共弦为的弦长为，四面体球的半径.
两圆、的弦心距:；
两圆、的圆心距:，由于四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径，而，则由正弦定理：，于是外接球的半径可得，进一步整理：
①
特别地，当时，代入可得：
②
二．典例分析
，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
解析：解法1.（几何推导）
设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，


  
∵，∴点为中点，则，由为外心，故，则，由题意可得平面，故平面与平面的夹角，，，，则由正弦定理可得，
由球的半径为，故，,由平面，平面，可得，则中，,即，故平面与平面的夹角为，:B.
（）
由于设分别为面，面的外接圆半径，则，代入：
，可得：，故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.
习题1．分别为菱形的边的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号）
①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐渐变小的过程中，三棱锥的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线与直线垂直，则的取值范围是.
解析：①由分别为菱形的边的中点，故，平面ABD，故