恰当方程积分因子通解微分方程论文.doc

摘要
本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件, 然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性, 我们总结出几种特殊形式的积分因子, 并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子, 然后通过实例验证这些方法的有效性,最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。
关键词:恰当方程􀀁积分因子􀀁通解􀀁微分方程

Abstract
This paper firstly introduces the definition and the necessary and sufficient conditions of exact equation, and then introduce the definition of integral factor and the existence conditions for the exact the no uniqueness of exact equation and plex of the process of solving, we summarized some special form of integral factor, and analyzes the various methods to solve integral factor of differential equations,then we shows the effectiveness of these methods through the example , finally we use these methods to work out integral factors of four basic types the equation.

目录
一、恰当方程的定义和充要条件 1
二、积分因子的定义 1
三、积分因子的存在条件 2
四、积分因子的形式 3
3
4
5
6
8
10
12
13
15
16
20
22
24
25
27
28
五、利用积分因子求解微分方程的一般方法 29
29
30
六、四种类型方程的积分因子法 32
32
32
33
33
七、结束语 34
附录 37
一、英文原文 37
二、中文译文 48
一、恰当方程的定义和充要条件
对于具有对称形式的一阶微分方程

其求解方法是根据方程的不同类型确定的。我们讨论其中一类全微分方程, 也称为恰当方程。所谓恰当方程就是形如方程, 其中在某矩形区域内是的连续函数且具有连续的一阶偏导数, 若方程 的左端恰好是某个二元函数的全微分,即

这时方程的通解是, 这里是任意常数。
方程为恰当方程的充要条件是,这常用于判断一个微分方程是否为恰当方程, 进而求得其通解。恰当方程可以通过积分求出它的通解, 因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义, 积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。
二、积分因子的定义
当方程不是恰当方程时,。但如存在不恒为零的连续可微函数,使得
‚
成为恰当方程,即存在函数,使
那么则称为方程的积分因子。此时‚的通解也就是的通解。
三、积分因子的存在条件
常微分方程为恰当方程的充要条件是,
即。
另记,,,则上面方程可整理
ƒ 因此,为方程的积分因子的充要条件是其为方程ƒ的解。
方程ƒ 是一个有两个自变量的偏微分方程, 一般地求它要比求常微分方程更困难。但是, 在若干特殊情形下, 求ƒ 的一个特解还是容易的, 所以ƒ也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。下面就讨论某些特殊形式的积分因子。
四、积分因子的形式
理论上可以证明积分因子必定存在, 但是实际上没有一个一般方法, 只有对一些特殊的方程可以求出特殊形式的积分因子。我们主要讨论以下几种特殊形式的积分因子:

在这种条件下我们有一条结论:
方程中在D内连续且有连续偏导数,且满足,则方程存在形为的积分