恰当方程积分因子通解微分方程论文0226.doc

恰当方程积分因子通解微分方程论文0226.doc摘要本文首先介绍了恰当方程的定义及其充要条件,然后对于非恰当方程引出积分因子的定义等基本概念和存在条件。鉴于积分因子的不唯一性和解题过程中的复杂性,我们总结出几种特殊形式的积分因子,并分析了多种方法来求解微分方程的中积分因子,然后通过实例验证这些方法的有效性,最后运用这些方法求出四种基本类型方程的积分因子。关键词:恰当方程��积分因子��通解��微分方程AbstractThispaperfirstlyintroducesthedefinitionandthenecessaryandsufficientconditionsofexactequation,,wesummarizedsomespecialformofintegralfactor,andanalyzesthevariousmethodstosolveintegralfactorofdifferentialequations,thenweshowstheeffectivenessofthesemethodsthroughtheexample,、恰当方程的定义和充要条件 1二、积分因子的定义 1三、积分因子的存在条件 2四、积分因子的形式 28五、利用积分因子求解微分方程的一般方法 30六、四种类型方程的积分因子法 33七、结束语 34附录 37一、英文原文 37二、中文译文 48一、恰当方程的定义和充要条件对于具有对称形式的一阶微分方程其求解方法是根据方程的不同类型确定的。我们讨论其中一类全微分方程,也称为恰当方程。所谓恰当方程就是形如方程,其中在某矩形区域内是的连续函数且具有连续的一阶偏导数,若方程的左端恰好是某个二元函数的全微分,即这时方程的通解是,这里是任意常数。方程为恰当方程的充要条件是,这常用于判断一个微分方程是否为恰当方程,进而求得其通解。恰当方程可以通过积分求出它的通解,因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就有很大的意义,积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。二、积分因子的定义当方程不是恰当方程时,。但如存在不恒为零的连续可微函数,使得‚成为恰当方程,即存在函数,使那么则称为方程的积分因子。此时‚的通解也就是的通解。三、积分因子的存在条件常微分方程为恰当方程的充要条件是,即。另记,,,则上面方程可整理ƒ因此,为方程的积分因子的充要条件是其为方程ƒ的解。方程ƒ是一个有两个自变量的偏微分方程,一般地求它要比求常微分方程更困难。但是,在若干特殊情形下,求ƒ的一个特解还是容易的,所以ƒ也就提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径。下面就讨论某些特殊形式的积分因子。四、积分因子的形式理论上可以证明积分因子必定存在,但是实际上没有一个一般方法,只有对一些特殊的方程可以求出特殊形式的积分因子。我们主要讨论以下几种特殊形式的积分因子::方程中在D内连续且有连续偏导数,且满足,则方程存在形为的积分因子的充要条件为:,这里的是仅为的函数,且可以求得相应的积分因子具有这种形式。证明略。。解:因为,,所以,,,从而原方程不是恰当方程,考虑从而方程有只与x有关的积分因子,原方成两端乘以得,整理得因此,通解为。(c为任意常数)注意:此时。中在D内连续且有连续偏导数,且满足,则方程存在形为的积分因子的充要条件为:,渴求的相应的积分因子具有这种形式。证明略。。解:因为所以,易知原方程不是恰当方程,所以,方程有只与有关的积分因子:,原方程两边乘以积分因子,变为,整理得,所以通解为(c为任意常数)。另外,要注意当时,,此