Lebesgue测度定理.doc

Lebesgue测度定理.docLebesgue 测度

Rn .若讥［是Rn中的可数个开矩体，且有E I k，则称讥1 k臭

m*(E)=inf 上 v(Ik)：g 助E的L覆盖］
lk> J
为点集E的Lebesgue外侧度或简称外侧度.
定理 (i)非负性：m*(E)_O,m*(①)=0;
(ii )单调性：若巳 E2，则m*(EJ加叵);
(iii )次可加性：m*( yEkW k^Ekm*(Ek)
(iv )距离可加性：若 d( E1, ^) 0 贝U m*(E1 E2) =m*(EJ • m*(E2)
(v)平移不变性：设 x^ Rn，则m*(E x0)=m*(E).
Rn为可数点集，则m*(E)=0.


m*(T)二 m*(T E) m* (T Ec)，
则称E为lebesgue可测集，，*(E) 称为E的Lebesgue测度，记为 m(E).
,..…E, Rn是有限个互不相交的可测集，T Rn，贝U有
k k
m*(T ( EJ)八 m*(T Ei).
i 4 id：
=2时，取试验集T （E： E2），因为E：
m*（T （巳 E2））=m*（T （E： E2） E：） m*（T （E： E2） E：c）二 m*（T E：） m*（T E2）.
用数学归纳法可以证明：对任意自然数 k>=2,此引理成立.
（可测集的性质）.
（i） ① M;
（ii） 若 E M,则Ec M;
（iii） 若E€M（i=：,2,....，则其并集也属于M;若进一步有E：n E2=①（僅j）,则
m（ EJ 八 m（Ei）,
i ： i T
即m在M上满足可数可加性
「（…A）是一族―代数，则,.a r也是一个二-代数.
.由Rn中一切开集构成的开集族所生成的 匚-代数称为Borel代数,
Borel代数中的元素称为Borel集.
定理 .
设E： E2 .... Ek ....是一个递增可测集合列，则
m（lim ej qm m（Ek）.
k・ k_・
推论 2