0各类积分间的关系.doc

各类积分间的关系0、重积分的计算关键在于将积分区域分解X-型域或Y-型域;投影法(先一后二!)或截面法有时要先选择恰当的坐标系1、对弧长的曲线积分(第一类)算法:()关键在于给出曲线的方程(参数方程、普通方程或极坐标方程);曲线弧长元素:2、对坐标的曲线积分(第二类)算法:关键在于给出曲线的方程,并确定起止点对应的参数。定积分是第二类曲线积分的特例!3、两类曲线积分之间的联系:为的切向量之方向余弦4、对面积的曲面积分算法:其中:(曲面面积元素)5、对坐标的曲面积分算法:()其中:上(侧)正、下(侧)负6、两类曲面积分之间的联系:7、格林公式:一般由右向左使用,;注意例3及第二类曲线积分的路径无关。8、高斯公式:空间闭区域W由分片光滑的闭曲面S所围成,S的方向取外侧。9、斯托克斯公式:格林公式揭示了平面闭区域上的二重积分与区域边界(正向)上的曲线积分之间的关系;高斯公式揭示了空间立体上的三重积分与其边界(外侧)上的曲面积分之间的关系;斯托克斯公式揭示了空间曲面上的曲面积分与空间曲面边界(正向)曲线上的曲线积分之间的关系。平面是曲面的特例,所以格林公式是斯托克斯公式的特例;从公式的形式上看格林公式也可以作为高斯公式的特例。格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都揭示了在一个几何形体上的积分和在它的边界上的积分之间的内在联系,而牛顿—莱布尼兹公式揭示了区间上的定积分与其原函数在区间端点上取值的关系,四者在本质上是相同的。注意:此部分计算常用办法:1、基本计算公式2、添加辅助线(面)的办法(格林、高斯公式)、挖洞的办法(格林公式例3)3、奇偶对称(第二类曲面积分的奇偶对称与众不同)、轮换对称4、积分的应用:弧长、面积、体积、质心、转动惯量、引力等多练且要多动脑!